二叉树的概念及特性

╰+哭是因爲堅強的太久メ 2023-09-27 14:04 102阅读 0赞

**目录**

一、树的引出

二、树的特性

三、二叉树的概念

四、二叉树的性质

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## 一、树的引出 ##

树是一种**非线性**的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。数据结构中的**树像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的**。它具有以下的特点：

（1）有一个特殊的结点，称为根结点，根结点没有前驱结点

（2）除根结点外，其余结点被分成M (M > 0) 个互不相交的集合 T1 、 T2 、 ...... 、 Tm ，其中**每一个集合** **又是一棵与树类似的子树**。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有 0 个或多个后继

（3）树是递归定义的。

**注意：树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构（称为非树）**

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树的特性：（1） **子树之间是不能有交集的**

（2） **除了根节点，每一个子节点都只有一个父节点**

（3） **一棵树有N个节点，所对应有N-1个节点**

## 二、树的特性 ##

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**结点的度** ：一个结点含有子树的个数称为该结点的度； 如上图： A 的度为4,B的度为2

**树的度** ：一棵树中，所有结点度的最大值称为树的度； 如上图：树的度为4

**结点的层次** ：从根节点开始定义起，根节点为第 1 层，根的子结点为第 2 层，以此类推

**树的高度或深度** ：树中结点的最大层次； 如上图：树的高度为5

**叶子结点** ：度为 0 的结点称为叶结点； 如上图： F 、 G 、 M 、 I和J 节点为叶子结点

**双亲结点或父结点** ：若一个结点含有子结点，则这个结点称为其子结点的父结点； 如上图： A 是 B 的父结点

**孩子结点或子结点** ：一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点， 如上图： B 是 A 的子结点

**根结点** ：一棵树中，没有双亲结点的结点；如上图： A

## 三、二叉树的概念 ##

**二叉树指每一个节点最多只有2个子节点的树或者为空树。**二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树。左边的树称为左子树，右边的树称为右子树。

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**两种特殊的二叉树：**

（1）**满二叉树**：在一个二叉树中，每一层中的各个节点都有2个子节点既**每层的结点数都达到最大值，则这棵二叉树就是满二叉树。**

**若二叉树的层数为k，则总节点数为**![2^k-1][2_k-1] ,此时二叉树也是满二叉树。

（2）**完全二叉树**：对于层数为k的，有n 个结点的二叉树，**当且仅当其每一个结点都与层数为k****的满二叉树中编号从0至n-1****的结点一一对应**时称之为完全二叉树。

**注意：满二叉树是一种特殊的完全二叉树。**

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## 四、二叉树的性质 ##

1、若规定**根结点的二叉树的层数为****1**，则当**二叉树的层数为k时，其最大总节点数为**![2^k-1][2_k-1] （k>=0）

2、若规定**根结点的层数为****1**，则一棵**非空二叉树的第****i****层上最多有 ![2^\{i-1\}][2_i-1]****(i>0)****个结点**

3、一个二叉树中，**总节点数 = 叶子节点数 + 度为1的节点数 + 度为2的节点数**

4、**在一个完全二叉树中，若总节点数为偶数，则度为****1的节点数=1；若总节点数为奇数，则度为****1的节点数=0**

5、对任何一棵二叉树 ,  如果其 **叶子节点数为**  **n0,**  **度为** **2** **的节点数为**  **n2,** **则有** **n0** **＝** **n2** **＋** **1**

6、具有 **n** **个结点的完全二叉树的深度** **k** **为![log\_\{2\}(n+1)][log_2_n_1] （**  **k取值向大取整）**

**二叉树性质练习题**：

1.  某二叉树共有  399  个结点，其中有  199  个度为  2  的结点，则该二叉树中的叶子结点数为（B）

A :  不存在这样的二叉树 B: 200 C: 198 D: 199

2. 在具有  2n  个结点的完全二叉树中，叶子结点个数为（A）

A: n B: n+1 C: n-1 D: n/2

3. 一个具有 767 个节点的完全二叉树，其叶子节点个数为（B）

A: 383 B: 384 C: 385 D: 386

4. 一棵完全二叉树的节点数为 531 个，那么这棵树的高度为（B ）

A: 11 B: 10 C: 8 D: 12

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