三维重建笔记_相机标定(相机矩阵求解)基本概念汇总

痛定思痛。 2023-06-25 04:47 14阅读 0赞

**目录**

1 数学知识

1.1 单应矩阵

1.1.1 参考1

1.1.2 参考2

1.1.3 参考3

1.2 对比: H(单应矩阵)、P(摄像机矩阵)、F(基本矩阵)、E(本质矩阵)

1.3 SVD(奇异值分解)

1.4 矩阵范数 ||A||

2 相机知识

2.1 相机模型

2.2 相机矩阵

2.3 相机标定算法--同时标定内参外参 -- Resnecting

3 对极几何

3.1 多视几何

3.1.1 基本矩阵 F（Fundamental matrix）

3.1.2 本质矩阵 E (Essential matrix)

3.1.3 单位矩阵 I (Identity matrix)

4. 使用PnP方法，进行相机外参的标定

4.1 经典的P3P算法

4.1.1 角度θ的计算

4.2 线性PnP算法

4.3 EPnP Algorithm

5. 相机内参的标定

5.1 用Vanishing Points求相机内参

5.1.1 Vanishing Points(消失点)

5.1.2 Image of Absolute Conic(绝对二次曲线的映射)

5.1.3 通过Vanishing Points(消失点)求相机内参

5.2 用Circular Points求相机内参(张氏标定)

5.2.1 Circular Points(虚圆点)

5.2.2 The Absolute Conic in 3D Space(三维空间中的绝对二次曲线)

5.2.3 Absolute Conic有什么用？

5.2.4 张氏标定求相机内参？

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# 1 数学知识 #

## 1.1 单应矩阵 ##

Homography: 单应矩阵H，**描述物体在世界坐标系和像素坐标系之间的位置映射关系，**包含放缩因子、相机内参、相机外参。

### 1.1.1 参考1 ###

*  单应性矩阵的理解及求解3： [https://blog.csdn.net/lyhbkz/article/details/82254893][https_blog.csdn.net_lyhbkz_article_details_82254893]

### 1.1.2 参考2 ###

*  计算机视觉中的数学方法 3.2.3 ，吴福朝 中科院自动化所
 *  ![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3NoeWpoeXAxMQ_size_16_color_FFFFFF_t_70][]
 *  ![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3NoeWpoeXAxMQ_size_16_color_FFFFFF_t_70 1][]
 *  ![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3NoeWpoeXAxMQ_size_16_color_FFFFFF_t_70 2][]

### 1.1.3 参考3 ###

*  计算机视觉中的数学方法 4.2，吴福朝 中科院自动化所
 *  ![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3NoeWpoeXAxMQ_size_16_color_FFFFFF_t_70 3][]
 *  ![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3NoeWpoeXAxMQ_size_16_color_FFFFFF_t_70 4][]
 *  ![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3NoeWpoeXAxMQ_size_16_color_FFFFFF_t_70 5][]

## 1.2 对比: H(单应矩阵)、P(摄像机矩阵)、F(基本矩阵)、E(本质矩阵) ##

*  H(单应矩阵，3x3，2D->2D)：二视几何下，一个摄像机上的**图像点，**与另一幅个摄像机的**图像点**的对应关系。
    
     *  ![20200402122212823.png][]
        
         *  ![20200513095411425.png][],**8**个自由度，秩为3.
         *  ![20200507091349576.png][] （使用单应矩阵，求基本矩阵；e'为第二副图像关于第一幅图像的极点）
 *  P(摄像机矩阵，3x4，3D->2D)：本摄像机坐标系下(光心C为原点)的**空间点**，与对应**图像点**之间的关系。
    
     *  ![20200402122025695.png][]
        
         *  ![20200505100827295.png][]
         *  ![20200513095342991.png][]，**11**个自由度
 *  F(基本矩阵，3x3，2D->2D)：二视几何下，一个摄像机上的**图像点**，与另一个摄像机的图像上**对应极线**的关系。
    
     *  重要公式:
     *  ![20200505072110763.png][](图像点 m 在第二幅图像上的对应点 m′，在极线![20200505072226326.png][] 上（极线方程![20200505071932601.png][]）)
        
         *  基本矩阵和相机内外参数的关系： ![20210412155007165.png][]
         *  ![20200513100051496.png][], **7**个自由度；秩是2。
     *  重要性质：
        
         *  基本矩阵不依赖于摄像机矩阵的选择，等价地说不依赖于世界坐标系的选择；(吴福朝，12.1.1)
 *  E(本质矩阵)：描述了两幅**规范化图像间**的极几何，它与基本矩阵一样也是一个秩为 2 的矩阵。
    
     *  与基本矩阵的不同之处是它仅与摄像机的运动参数有关。因此，从本质矩阵出发可估计出摄像机的欧氏运动参数。
     *  令![20200429102142398.png][]令![20200429101839998.png][]
     *  则 ![20200429101828682.png][]
     *  基本矩阵与本质矩阵的关系：![20210412154233155.png][]

**直接线性变换（DLT）**

*  在三维视觉中，用于计算Ap=0的矩阵（A:由2D点和3D点坐标组成的矩阵；p: 2D点和3D点的映射关系的3x4的矩阵，称之为相机的内参）；
 *  简言之，用于计算相机的内参数，对相机进行标定；
 *  要想求解p, 已知的一种方法是对A做SVD(奇异值分解)；
 *  ![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3NoeWpoeXAxMQ_size_16_color_FFFFFF_t_70 6][]

参考：[https://www.cnblogs.com/ambition921009/p/10769262.html][https_www.cnblogs.com_ambition921009_p_10769262.html]

[https://wenku.baidu.com/view/28635e5e804d2b160b4ec048.html][https_wenku.baidu.com_view_28635e5e804d2b160b4ec048.html]

## 1.3 SVD(奇异值分解) ##

SVD: 通过分解矩阵，来解方程中未知数使用的一种数学方法，比如求本质矩阵E。

从图片的压缩结果可以看出来，奇异值可以被看**作成一个矩阵的代表值**，或者说，奇异值能够代表这个矩阵的信息。当奇异值越大时，它代表的信息越多。因此，我们**取前面若干个最大的奇异值**，就可以基本上**还原出数据本身**。

参考1：[https://www.cnblogs.com/endlesscoding/p/10033527.html][https_www.cnblogs.com_endlesscoding_p_10033527.html]

参考2：计算机视觉中的数学方法 8.3.2 ，吴福朝 中科院自动化所

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3NoeWpoeXAxMQ_size_16_color_FFFFFF_t_70 7][]

## 1.4 矩阵范数 ||A|| ##

常用的三种p-范数，诱导出的矩阵范数是：

**1-范**数：║A║1 = max\{ ∑|ai1|, ∑|ai2| ,…… ,∑|ain| \} (**列和范数，A每一列元素绝对值之和的最大值**)　(其中∑|ai1|表示第一列元素绝对值的和，∑|ai1|=|a11|+|a21|+...+|an1|，其余类似)；

**2-范数**：║A║2 = **A的最大奇异值** = ( max\{ λi(A^H\*A) \} ) ^\{1/2\} (欧几里德范数，又称谱范数，即A^H\*A特征值λi中最大者λ1的平方根，其中A^H为A的转置共轭矩阵)；

二范数又称**谱范数**：即，求解矩阵A与自身转置乘积所得矩阵的模**最大特征值**，记这个特征值的模叫做**矩阵的谱半径**，也就是此矩阵的谱范数，注意这里做的乘积是必要的，就是方阵化，因为我们一般的矩阵不一定是方阵并不一定有特征值。

**∞-范数**：║A║∞ = max\{ ∑|a1j|, ∑|a2j| ,..., ∑|amj| \} (**行和范数，A每一行元素绝对值之和的最大值**)　(其中为∑|a1j| 第一行元素绝对值的和，其余类似)

范式的**相容性**：║XY║≤║X║║Y║

参考：[https://zhidao.baidu.com/question/878564987857293532.html][https_zhidao.baidu.com_question_878564987857293532.html]

# 2 相机知识 #

## 2.1 相机模型 ##

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3NoeWpoeXAxMQ_size_16_color_FFFFFF_t_70 8][]

\-------------------------------------------------------------------------

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3NoeWpoeXAxMQ_size_16_color_FFFFFF_t_70 9][]

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*  移动相机到拍摄位置，镜头对准某个方向(**视图变换**,view transform)
 *  将拍摄对象，移到场景中的某个位置(**模型变换**,model transform)
 *  设置相机焦距，或调整缩放比例(**投影变换**,projection transform)
 *  对结果图像拉伸或者压缩，变换为需要的图片大小(**视口变换**,viewpoint transform)；视口变换对应于选择被冲洗相片的大小这个阶段。我们希望照片像钱包一样大还是像海报一样大？在计算机图形中，视口是一个矩形的窗口区域，图像就是在这个区域中绘制的。

**透视投影(perspective projection) :** 棱台模型， 透视投影属于中心投影。透视投影图简称为透视图或透视，它是从某个投射中心将物体投射到单一投影面上所得到的图形。

**正交投影(orthographic projection)：**长方体模型**，**投影线垂直于投影面的投影属于正交投影 ，也称为平行投影。

参考：[https://blog.csdn.net/shyjhyp11/article/details/103859445][https_blog.csdn.net_shyjhyp11_article_details_103859445]

## 2.2 相机矩阵 ##

对于一个空间点P：**世界坐标系**\--相机外参(R,t)\-->**相机坐标系**\--相机内参K\-->**像素(图像)坐标系**

相机矩阵分解为两个矩阵的乘积：内参矩阵`K`和外参矩阵`[R|−RC]`

**内参矩阵 K:** 是将**空间点在相机坐标系下（光心是原点）的3D坐标（归一化的3D坐标，比如（X/Z,Y/Z,1））**，变换到2D齐次**图像坐标（成像平面像素坐标系）**。

相机内参的计算，是将内参矩阵分解为切变(`shear`,类似于将长方形压成平行四边形的变形方式)、缩放、平移变换，分别对应轴倾斜s、焦距f、主点偏移(x,y) :

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3NoeWpoeXAxMQ_size_16_color_FFFFFF_t_70 10][]

**外参矩阵(R, t)：**描述的是世界坐标中相机的位置，及其指向方向。有两个成分：旋转矩阵`R`和平移向量`t`。它们并非恰好对应相机的旋转和平移；描述的就是如何将**世界坐标系中的点**变换到**相机坐标系中。**

外参矩阵以刚体变换矩阵的形式可以记为：左边一个`3∗3`旋转矩阵，右边一个`3∗1`的平移列向量 。

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3NoeWpoeXAxMQ_size_16_color_FFFFFF_t_70 11][]

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3NoeWpoeXAxMQ_size_16_color_FFFFFF_t_70 12][]

参考：相机矩阵(Camera Matrix) [https://www.jianshu.com/p/2341da36aa8e][https_www.jianshu.com_p_2341da36aa8e]

视口变换 3.4 [https://book.51cto.com/art/201002/185494.htm][https_book.51cto.com_art_201002_185494.htm]

## 2.3 相机标定算法--同时标定**内参外参** **-- Resnecting** ##

**Resection**: 把**相机内参外参**放在一起进行标定的方法。

**一个黄金标准算法 - 最小化重投影误差平方和**

在知道6个点对应关系（2D图像坐标点 <-对应-> 3D世界坐标点）的条件下，先使用 **Normalization**\+**DLT**的方法，计算出一个初始的相机矩阵，再用上述相机矩阵，最小化**几何误差**，进一步优化（比如梯度下降等非线性优化方法）相机矩阵，最后反Normalization，得到真实的相机矩阵（此处指相机外参）。

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3NoeWpoeXAxMQ_size_16_color_FFFFFF_t_70 13][]

**用到的相关基本概念：**

\-------------------------------------- **Normalization** \----------------------------------------

做法：对所有点做平移+放缩的变换，让这些点均匀分布在一个圆上/球上

目的：提高数值计算的稳定性

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3NoeWpoeXAxMQ_size_16_color_FFFFFF_t_70 14][]

\----------------------------------------- **DLT** \--------------------------------------------------

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3NoeWpoeXAxMQ_size_16_color_FFFFFF_t_70 15][]

\---------------------------------- **几何误差 与 代数误差** \----------------------------------

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3NoeWpoeXAxMQ_size_16_color_FFFFFF_t_70 16][]

**几何误差**：图像实际点 与 计算投影点之间的误差；通过几何误差求解的方法，也称之为**光束法平差（**Bundle Adjustment**）。**

**代数误差：**使用DLT方法时，用于度量的一个误差。(在下张图中，将分母2乘都左侧后，再相减)

两者区别：相差了一个倍数关系。

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3NoeWpoeXAxMQ_size_16_color_FFFFFF_t_70 17][]

由上图可以看出，转换矩阵P，含有12个自由度（m00 ~ m23），在进行尺度放缩（比如同时除以m23），

可以减少一个自由度，这样转换矩阵的确定，需要11个自由度，即需要6个对应点对求解2D<->3D转换矩阵P。

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3NoeWpoeXAxMQ_size_16_color_FFFFFF_t_70 18][]

# 3 对极几何 #

提到对极几何，一定是对**两幅图像**而言，对极几何实际上是“两幅图像之间的对极几何”，它是**图像平面**与**以基线为轴的平面束的交**的几何（这里的**基线**是指连接摄像机中心的直线），以下图为例：对极几何描述的是左右两幅图像(点x和x’对应的图像)与以CC’为轴的平面束的交的**几何约束**！

**基本概念**： 基线，对极平面（epipolar plane），极线（epopolar line），5点共面约束(c, x, X, x' c'共面)

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3NoeWpoeXAxMQ_size_16_color_FFFFFF_t_70 19][]

参考：对极几何基本概念 [https://blog.csdn.net/tina\_ttl/article/details/52749542][https_blog.csdn.net_tina_ttl_article_details_52749542]

## 3.1 多视几何 ##

一个物体在多个成像表面形成的图像（可以是同一个相机或者多个相机）：

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3NoeWpoeXAxMQ_size_16_color_FFFFFF_t_70 20][]

同一个点（如Point1）在不同图像之间的对应关系：

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3NoeWpoeXAxMQ_size_16_color_FFFFFF_t_70 21][]

在两视图下，基础矩阵F和本质矩阵E的定义如下：

### 3.1.1 基本矩阵 F（Fundamental matrix） ###

\[Oliver Faugeras 1992\]  
**特别注意：这里的p和q表示的是像素点的齐次坐标。**

\------------------------------------------------------------------------------

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3NoeWpoeXAxMQ_size_16_color_FFFFFF_t_70 22][]

\------------------------------------------------------------------------------

**对比Essential Matrix:**

\-------------------------------------------------------------------------------

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3NoeWpoeXAxMQ_size_16_color_FFFFFF_t_70 23][]

\-------------------------------------------------------------------------------

*  **两视图的对极几何约束关系，可以通过3X3的基本矩阵F，来描述。**
    
     *  即9个未知数，因为是 up to scale（比例放缩）的，所以减少一个自由度，
     *  同时 rank(F)=2,即对极几何约束条件（Fe1=0）,所以又减少一个自由度(degree of freedom)，所以有7个DOF.
     *  即至少需要7对点来估计F
     *  7点算法-求F(Fundamental Matrix)： [https://blog.csdn.net/shyjhyp11/article/details/104093868][https_blog.csdn.net_shyjhyp11_article_details_104093868]
 *  图像1中p像素点，其对应图像2中像素点q，在极线Fp上。

\------------------------------------------------------------------------------![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3NoeWpoeXAxMQ_size_16_color_FFFFFF_t_70 24][]

\------------------------------------------------------------------------------

*  **两个对应点p,q的极线约束方程： q^T F p = 0**
 *  可以使用基本矩阵F，求出epipoles(极点)
    
     *  因为 Fe = 0
 *  推导如下图

\------------------------------------------------------------------------------

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3NoeWpoeXAxMQ_size_16_color_FFFFFF_t_70 25][]

\------------------------------------------------------------------------------

*  Fundamental matrix 和 epipolar line有什么用？
    
     *  帮我们缩小了搜索范围（比如在搜索feature点时）；
     *  将二维搜索变成一维搜索。

**基本矩阵 F的计算步骤**

*  1. 求一个初始的F值
 *  2.基本矩阵约束条件，调整初始F值（反应到图像）

\------------------------------------------------------------------------------

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3NoeWpoeXAxMQ_size_16_color_FFFFFF_t_70 26][]

\------------------------------------------------------------------------------

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3NoeWpoeXAxMQ_size_16_color_FFFFFF_t_70 27][]

\------------------------------------------------------------------------------

**为什么需要加 rank(F) =2 的约束？**

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3NoeWpoeXAxMQ_size_16_color_FFFFFF_t_70 28][]

\------------------------------------------------------------------------------

**为什么需要 data normalization?**

优化八点算法，提高F的稳定性？，效果会很好！

data normalization是什么？比如图像，将其归一化到\[‐1,1\]x\[‐1,1\]范围内。

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3NoeWpoeXAxMQ_size_16_color_FFFFFF_t_70 29][]

### 3.1.2 本质矩阵 E (Essential matrix) ###

**由来：**

**特别注意：下面3幅图中p和q，表示的是向量（相机中心连接像素点坐标的方向向量，normalized 过的）**

\-----------------------------------------------------------------------------------------

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3NoeWpoeXAxMQ_size_16_color_FFFFFF_t_70 30][]

\-----------------------------------------------------------------------------------------

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3NoeWpoeXAxMQ_size_16_color_FFFFFF_t_70 31][]

\------------------------------------------------------------------------------------------

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3NoeWpoeXAxMQ_size_16_color_FFFFFF_t_70 32][]

\-------------------------------------------------------------------------------------------

**定义：**

**特别注意：p和q(下面的一幅图，头上加波浪线)表示的是向量（相机中心连接像素点坐标的方向向量）**

\------------------------------------------------------------------

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3NoeWpoeXAxMQ_size_16_color_FFFFFF_t_70 23][]

\------------------------------------------------------------------

**对比Fundamental Matrix:**

\------------------------------------------------------------------

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3NoeWpoeXAxMQ_size_16_color_FFFFFF_t_70 22][]

\------------------------------------------------------------------

*  1. 基本矩阵F可通过**8组对应点**线性求解（8点法）、本质矩阵E可通过**5组对应点**求解（5点法，因为E=R\[t\]x ,R旋转矩阵也有3个自由度，t有2个自由度，所以5个自由度至少需要5个点）；
 *  2. 通过SVD分解，可以从本质矩阵E中，分解相机R和t；
 *  3. 已知相机K、 R、 t，可通过三角化求解三维点X；
 *  4. 至此，得到两视图重建的初始值，之后通过BA（Bundle Adjustment）对相机内参、相机位姿和三维结构K、 R、 t、 X进行非线性优化；
 *  三维重建笔记\_相机标定\_求本质矩阵E：[https://blog.csdn.net/shyjhyp11/article/details/104098775][https_blog.csdn.net_shyjhyp11_article_details_104098775]

### 3.1.3 单位矩阵 I (Identity matrix) ###

众所周知，在[矩阵][Link 1]的乘法中，有一种矩阵起着特殊的作用，如同数的乘法中的1，这种矩阵被称为单位矩阵。它是个[方阵][Link 2]，从左上角到右下角的[对角线][Link 3]（称为[主对角线][Link 4]）上的元素均为1。除此以外全都为0。

![20200122082655911.png][]

# 4. 使用PnP方法，进行相机外参的标定 #

**涉及坐标系：**世界坐标系(3D点坐标已知) --(R,T)待求解\--> 相机坐标系(3D点坐标) --> 图像坐标系(2D点坐标已知)

**PnP问题：****属于相机标定的子问题；**

**原理：****在相机内参固定（已知）的情况下，根据世界坐标系的3D点坐标，和对应的图像坐标系的2D点坐标，求相机外参（R,t）****(**自然是相对于世界坐标系的旋转和平移**)****。**如视觉SLAM中，小车在运动过程中，相机的内参通常不会发生改变。

**描述：**已知图像2D坐标点，和对应的世界坐标系下的3D坐标点（含三维坐标点到相机中心的距离），求**相机坐标系下**的三维点坐标，然后，用来求解**世界坐标系**和**相机坐标系**的坐标变换了**。**

**可参考论文：**Xiao Shan Gao, Xiao Rong Hou, Jianliang Tang, and Hang Fei Cheng. 2003. **Complete solution classification for the perspective-three-point problem**. IEEE Trans. Pattern Anal. Mach. Intell. 25, 8 (2003), 930–943.

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3NoeWpoeXAxMQ_size_16_color_FFFFFF_t_70 33][]

## 4.1 经典的P3P算法 ##

即最小解，当有3个点的时候，由世界坐标系点+对应的图像坐标系点，求**相机坐标系下**的三维点坐标。

下面的角度θ，是通过相机的内参计算确定的。

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3NoeWpoeXAxMQ_size_16_color_FFFFFF_t_70 34][]

评论： 利用的正是**三角形的余弦定理**，上面ppt截图中di dj是未知的（相机光心到世界坐标系下的3D点的距离）， dij是已知的（世界坐标系下的两个3D点的距离）。

### 4.1.1 角度θ的计算 ###

注意： K^(-1) 表示相机坐标系下的光线（相机中心连接像素点）的方向，其中K是相机的内参。

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3NoeWpoeXAxMQ_size_16_color_FFFFFF_t_70 35][]

## 4.2 线性PnP算法 ##

选定多组（>3）对应点，构造多个方程，求解线性方程组的方法，求**相机坐标系下**的三维点坐标。

但是该方法，算法复杂度**O(n^5)**。

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3NoeWpoeXAxMQ_size_16_color_FFFFFF_t_70 36][]

## 4.3 EPnP Algorithm ##

针对上述复杂度过高问题的一个改进，算法复杂度O(n)，IJCV2008。原理与P3P问题一致，**使用比较广泛的算法**。

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3NoeWpoeXAxMQ_size_16_color_FFFFFF_t_70 37][]

# 5. 相机内参的标定 #

## **5.1 用Vanishing Points**求相机内参 ##

### **5.1.1 Vanishing Points(消失点)** ###

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3NoeWpoeXAxMQ_size_16_color_FFFFFF_t_70 38][]

### 5.1.2 Image of Absolute Conic(绝对二次曲线的映射) ###

Absolute Conic：绝对二次曲线，又翻译为，绝对圆锥曲线。

(圆锥曲线几何定义：用一个平面去截一个二次锥面，得到的交线就称为圆锥曲线(conic sections)。我们通常提到的圆锥曲线包括：椭圆、双曲线和抛物线。)

**思想：**

**将**三维空间中，**两个相互垂直的向量**的齐次形式，投影成无穷远处**两个消失点(已知)**，从而得到一个**关于相机内参矩阵(未知)的方程**，进而求得相机的内参矩阵。

**几何含义：**  
在平面上，一个3x3的矩阵就是一个二次曲线（或者说是一个椭圆）；  
说明：三维空间无穷远处，包了一个平面，在这个平面上有一个椭圆(也叫Absolute Conic)，是我们人为想象出来的，这个椭圆投影在图像上，依然是一个椭圆，这个图像上的椭圆方程，就是上述方程 "0=..."（及关于内参K的一个方程）。

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3NoeWpoeXAxMQ_size_16_color_FFFFFF_t_70 39][]

参考：The Image of the Absolute Conic: [http://www.cs.unc.edu/~marc/tutorial/node87.html][http_www.cs.unc.edu_marc_tutorial_node87.html]

### 5.1.3 通过**Vanishing Points(**消失点**)**求相机内参 ###

通过一张图（消失点可知），标定相机内参。

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3NoeWpoeXAxMQ_size_16_color_FFFFFF_t_70 40][]

## 5.2 **用**Circular Points求相机内参(张氏标定) ##

### 5.2.1 Circular Points(虚圆点) ###

在平面摄影几何中，任何一个两维点都有一个homogeneous coordinate(齐次坐标)，

如果第三项为0，则该点为无穷远点；如果这个点含有虚数项(-i 和 i)，那么这两个点叫做circular points(虚圆点)。

**虚圆点如何产生？**

一个(任意的)圆和无穷远直线的交点。

**为什么叫虚圆点？**

因为所有的圆都经过这两个点(这两个点在无穷远直线上)。

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3NoeWpoeXAxMQ_size_16_color_FFFFFF_t_70 41][]

### 5.2.2 The Absolute Conic in 3D Space(三维空间中的绝对二次曲线) ###

将三维空间切成很多平面，各种不同朝向的平面。  
如：将一个大地平面绕着一个轴(如东西方向的轴)转一圈，得到三维空间;  
每个大地平面上都有这样一条 the line at infinity(无穷远直线)，每一条这样的无穷远直线上都有2个circular points(虚圆点);  
所有的这些平面上的所有circular points(虚圆点)，最终会形成什么呢？答，形成一个椭圆，即一个absolute conic。

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### 5.2.3 Absolute Conic有什么用？ ###

想象有一个无穷远的平面，比如天空，包住了这个三维世界，“天空”中有个想象的椭圆（absolute conic），

对着天空拍了一张照片，它投成到图像平面上还是一个椭圆，这个图像上的椭圆KK,的重要性就是，它直接

代表了相机的内参。你知道了absolute conic在图像中位置，你就能把内参求出来。即想求相机内参，就是

去找absolute conic在哪里。

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### 5.2.4 张氏标定求相机内参？ ###

**思想：**

**circular** **points** \-homography-> **Image of Absolute Conic** \-decomposition-> **Intrinsic Metrix**

**步骤：**

*  假设图形面有3张标定板的图像，在每一块标定板上，我们都可以建立一个，从标定板平面到图像平面的一个Homography的一个映射。因为标定板上有正方形，正方形上有4个顶点，可以根据4个顶点就可以求出H(homography)。
 *  每个标定板平面都有2个circular points，可以利用H求出这2个circular points，在图像平面的坐标。
 *  这里有3块板，一共6个circular points。因为absolute conic（绝对二次曲线）是由circular points（虚圆点）组成的conic（二次曲线），而fit一个conic只需要5个点，所以这种方法可以 fit 一个 conic，即 Image of Absolute Conic，即 K^(-T).K^(-1) ，即相机的内参。

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**参考：**SFU 浙江大学 计算机视觉课程 谭平教授 [https://www.jiqizhixin.com/articles/19052902][https_www.jiqizhixin.com_articles_19052902]

[https_blog.csdn.net_lyhbkz_article_details_82254893]: https://blog.csdn.net/lyhbkz/article/details/82254893
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