小球称重的解法整合 N个小球有一个坏球，最少几次能找出坏球

亦凉 2023-03-01 10:41 5阅读 0赞

**小球称重的解法整合 N个小球有一个坏球，最少几次能找出坏球**  
最近在看小球称重的问题，之前只记住了公式，最近回过来看，发现知乎上多了一些优质答案，遂记录一下。

现附上[学习地址][Link 1]

先说结论，  
 **N 个乒乓球中有一个和其他的质量不同，用天平最少几次一定能称出来？（并知道是轻了还是重了）**  
n次操作最多能解决以下个数的问题  
 3 n − 3 2 \\frac\{3^n-3\}\{2\} 23n−3  
**本文主要也阐述解决这个问题的方法。**

**N 个乒乓球中有一个和其他的质量不同，用天平最少几次一定能称出来？（不必知道轻了还是重了）**  
n次操作最多能解决以下个数的问题  
 3 n − 1 2 \\frac\{3^n-1\}\{2\} 23n−1

主要方法有如下几种

### 文章目录 ###

*   *   *   *   *  信息论
                 *  三进制正逆序
                 *  快速排序
                 *  决策树
                 *  矩阵
                 *  递归

##### 信息论 #####

特点

1.  简单暴力
2.  容易理解
3.  只能用于估计，答案在有些情况下是不对的
4.  无法知道其具体操作过程，但是可以理论上估计操作次数

依托于香农的信息论，可以知道N个球的信息熵，以999个球的称重为例（不加以说明，下面都以999为例），每一个球都有可能成为异常球，如果是异常球，又有可能是轻或者重两种可能，所以一共有999\*2的可能性，他的信息熵为  log ⁡ ( 999 ∗ 2 ) log ⁡ 2 = 10.97 \\frac\{\\log(999\*2)\}\{\\log2\}=10.97 log2log(999∗2)=10.97  
而每次称重最多有三个状态，每次可获得的最大信息熵为（注意此处）  
 log ⁡ 3 log ⁡ 2 = 1.58 \\frac\{\\log3\}\{\\log2\}=1.58 log2log3=1.58  
所以应当有10.97/1.58次操作，计算后向上取整为7次。

值得注意的是，此处可获得的最大信息熵，我的理解是，每一次都做到可能性变为原来的1/3时才可行，考虑正好是3的指数个数时，每次都3等分称重，不论是相等还是有轻有重，都可以将可能性降为原来的1/3，这样这个公式才成立。但是实际上小球也存在不被等分的情况，这里默认可以被分为小数，但显然是不合规矩的。也就是，信息论可用于估计，但是也有可能会出错。以4为例，信息熵为3，3/1.58并向上取整，信息论表示答案为2 ，但事实上是分不出来的。

##### 三进制正逆序 #####

特点

1.  稍显抽象
2.  可以知道具体操作过程
3.  答案准确

感谢知乎大佬，详见顶部原文，有论文和实现。

此处给出[网页可视化实现及算法流程介绍][Link 2]

但是需要注意的是，不同浏览器显示不同，笔者用的是火狐浏览器，评论里有用谷歌浏览器的，都出现了12个球需要4次操作的情况，原文作者有介绍，是因为浏览器的精度计算问题。据其他评论者说，手机浏览器可以正常显示12个球三次操作，笔者自己实验的时候，使用了老版edge浏览器（不是新版，新版换了内核，也可能出现这个情况），可以正常展示12个球3次操作。

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80MjA1NjQyMg_size_16_color_FFFFFF_t_70]

三进制正逆序算法原理是，

1.  给每个球编号，编号原则为使用log(N\*2+3)/log(3) 向上取整的数目的位数，构建3进制编号。
2.  每个球都有正序号和逆序号，编号的每一位代表每次操作他所在的位置，0-小于，1-平衡，2-大于
3.  第k次操作将所有的小球正序编号第k位三进制取出，0放在天平左边，2放在天平右边，1不放，如果左偏则记录为0，有偏记录为2，无偏记录为1.
4.  将记录的编号与所有小球进行比较，如果和某个小球的正序一样，则这个小球比其它球重，如果和某个小球的逆序一样，则这个小球比其它球轻。

方法十分巧妙，当时也理解了很久，相当于这些小球的编号就是操作，如果每次操作都有他，最后一定是他。

##### 快速排序 #####

特点

1.  依托快速排序

关于这个看了个大概，大概就是和快排思路类似，可知其交换次数为log(n)。具体还不太懂，以后有机会再更新。但是快排本质上也是在平衡每次操作之后的概率，和信息论有异曲同工之处。

##### 决策树 #####

> 可以利用离散数学中决策树的思想来解决问题，n将是决策树的根。在本题中，由于每次称重会有三种结果，分别是左边轻、右边轻、以及相等，因此题中的决策树将是一个三叉树。在n = 999的情况下称重的结果就是log3 999的上界，答案是7次。同样的道理也可以用在以两两对比为基础的排序算法的次数上，即对一个长度为n的数组进行排序的次数就是log2 n。

作者：谢坤  
链接：https://www.zhihu.com/question/20854512/answer/95109354  
来源：知乎

这个也不是特别懂，先记录。

##### 矩阵 #####

[参考链接][Link 3]

##### 递归 #####

特点

1.  数学性强
2.  可以知道操作方式

原文已经写的很好了，此处转载他的图片。  
首先是有一个引理。

在  3 k 3^k 3k个球中已知一个球偏重（偏轻同理），需要k次称量把它找出来。

下面证明需要反复使用引理。

**作者：Ecthelion  
链接：https://www.zhihu.com/question/20854512/answer/959690337  
来源：知乎**

先把球分成三堆。![v2-a8bc53685bc2e37eaf1341eb4759c71c_hd.jpg_source_1940ef5c][]每一堆可以细分成n-1小堆。![v2-dd49e3f1efe7c8e11e5cbfc5ac663d94_hd.jpg_source_1940ef5c][]然后第一次称量。（WLOG：不失一般的）![v2-554c5d458d29fa0e0df4fd9576c96142_hd.jpg_source_1940ef5c][]第二次。![v2-28bbec16c62ab3bf3f3ce2382be11a05_hd.jpg_source_1940ef5c][]注意到情况1和（\*）处的相似性！然后我们就可以用迭代算一下：![v2-5ebb6798ae1fc18050ff11e38f110775_hd.jpg_source_1940ef5c][]中间三个分支实际上就是Lemma中k=n-2的情况，都需要n-2次称量。最右边的情况2，和”异常球在C中“是相似的，我们也可以用迭代算一下：![v2-c554545e4815c1e581271269ca232357_hd.jpg_source_1940ef5c][]得知情况二也需要n-2次称量。结论是：n次称量找出 个球中异常球并判断偏轻/偏重。

我觉得可以说是十分巧妙了，当时也想要用递归去写，但是却没有想到该怎么写。

[Link 1]: https://www.zhihu.com/question/20854512
[Link 2]: https://funnyjs.com/ballweight/#demo
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80MjA1NjQyMg_size_16_color_FFFFFF_t_70]: /images/20230208/40d409afe0c14809a12a291ce4fedd6a.png
[Link 3]: http://freemind.pluskid.org/machine-learning/a-compressed-sense-of-compressive-sensing-ii/
[v2-a8bc53685bc2e37eaf1341eb4759c71c_hd.jpg_source_1940ef5c]: https://pic1.zhimg.com/50/v2-a8bc53685bc2e37eaf1341eb4759c71c_hd.jpg?source=1940ef5c
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