人工智能-数学基础-线性代数与仿射变换

深藏阁楼爱情的钟 2023-01-15 08:18 145阅读 0赞

> 此篇文章需要一些线性代数、矩阵分块和Numpy的基础，在文中对这些基础不再赘述

# 一. 坐标变换 #

## 1.1 一个点变换到另一个点 ##

存 在 坐 标 点 ( x 1 , x 2 ) 需 要 变 换 到 ( y 1 , y 2 ) , 可 以 进 行 如 下 计 算 : 存在坐标点(x\_1,x\_2)需要变换到(y\_1,y\_2) ,可以进行如下计算: 存在坐标点(x1,x2)需要变换到(y1,y2),可以进行如下计算:

\{ y 1 = a 11 x 1 + a 12 x 2 y 2 = a 21 x 1 + a 22 x 2 \\begin\{cases\} y\_1=a\_\{11\}x\_1+a\_\{12\}x\_2 \\\\ y\_2=a\_\{21\}x\_1+a\_\{22\}x\_2 & \\end\{cases\} \{ y1=a11x1\+a12x2y2=a21x1\+a22x2  
以上代数计算关系可以写为矩阵运算关系：

\[ y 1 y 2 \] = \[ a 11 a 12 a 21 a 22 \] ⋅ \[ x 1 x 2 \] \\begin\{bmatrix\} y\_1 \\\\ y\_2 \\\\ \\end\{bmatrix\} = \\begin\{bmatrix\} a\_\{11\} & a\_\{12\} \\\\ a\_\{21\} & a\_\{22\} \\\\ \\end\{bmatrix\} \\cdot \\begin\{bmatrix\} x\_1 \\\\ x\_2 \\\\ \\end\{bmatrix\} \[y1y2\]=\[a11a21a12a22\]⋅\[x1x2\]

y → = A ⋅ x → \\overrightarrow\{y\} = A \\cdot \\overrightarrow\{x\} y=A⋅x  
分量计算为:  
 y i = ∑ j = 1 2 a i j x j y\_i = \\sum\_\{j=1\}^2a\_\{ij\}x\_j yi=j=1∑2aijxj  
**此为矩阵的点乘(内积)**

## 1.2 n个点进行坐标变化 ##

假 设 有 N 个 点 X ∈ R N × 2 , 多 有 点 均 进 行 矩 阵 预 算 : 假设有N个点 X \\in \\R^\{N \\times 2\} ,多有点均进行矩阵预算: 假设有N个点X∈RN×2,多有点均进行矩阵预算:  
注意:此时每一行代表了一个点  
 \[ y 11 y 12 y 21 y 22 y 31 y 32 \] = \[ x 11 x 12 x 21 x 22 x 31 x 32 \] ⋅ \[ a 11 a 12 a 21 a 22 \] \\begin\{bmatrix\} y\_\{11\} & y\_\{12\} \\\\ y\_\{21\} & y\_\{22\} \\\\ y\_\{31\} & y\_\{32\} \\\\ \\end\{bmatrix\} = \\begin\{bmatrix\} x\_\{11\} & x\_\{12\} \\\\ x\_\{21\} & x\_\{22\} \\\\ x\_\{31\} & x\_\{32\} \\\\ \\end\{bmatrix\} \\cdot \\begin\{bmatrix\} a\_\{11\} & a\_\{12\} \\\\ a\_\{21\} & a\_\{22\} \\\\ \\end\{bmatrix\} ⎣⎡y11y21y31y12y22y32⎦⎤=⎣⎡x11x21x31x12x22x32⎦⎤⋅\[a11a21a12a22\]  
 Y = X ⋅ A Y = X \\cdot A Y=X⋅A  
分量的形式:  
 y n i = ∑ j = 1 2 x n j a j i y\_\{ni\} = \\sum\_\{j=1\}^2x\_\{nj\}a\_\{ji\} yni=j=1∑2xnjaji

## 1.3 M维空间数据 ##

对 于 M 维 数 据 , X 为 n 行 m 列 数 据 X ∈ R n × m ， A 为 m 行 k 列 数 据 A ∈ R m × k 对于M维数据, X为n行m列数据X \\in \\R^\{n \\times m\}，A为 m行k列数据A \\in \\R^\{m \\times k\} 对于M维数据,X为n行m列数据X∈Rn×m，A为m行k列数据A∈Rm×k  
 Y = X ⋅ A Y = X \\cdot A Y=X⋅A  
 Y 为 n 行 k 列 数 据 Y ∈ R n × k Y为 n行k列数据 Y\\in \\R^\{n \\times k\} Y为n行k列数据Y∈Rn×k  
分量的形式:  
 y i j = ∑ k m x i k a k m y\_\{ij\} = \\sum\_k^mx\_\{ik\}a\_\{km\} yij=k∑mxikakm  
 所 以 ， 如 果 需 要 对 n 维 空 间 中 的 点 进 行 变 换 ， 则 需 要 A 满 足 m 行 m 列 ， A ∈ R m × m 所以，如果需要对n维空间中的点进行变换，则需要 A满足m行m列，A \\in \\R^\{m \\times m\} 所以，如果需要对n维空间中的点进行变换，则需要A满足m行m列，A∈Rm×m

# 二. 矩阵的仿射变换 #

## 2.1 我们先模拟一些点数据: ##

""" 模拟点数据 """
    import numpy as np
    import matplotlib.pyplot as plt
    
    plt.switch_backend("TkAgg")
    # 随机生成 1000 行, 2列的范围从 (0-1)的数据
    points = np.random.random([1000, 2])
    
    # 生成均匀的1000个 0到2的数字
    random_num = np.linspace(0, 2, 1000)
    # 将 line_x 重调为 1000行 1 列的矩阵
    line_x = np.reshape(random_num, [1000, 1])
    # 将 line_x进行列拼接. 得到 1000行两列的数据, 该数据类似于 斜率 0.5的直线
    line = np.concatenate([line_x, line_x], axis=1)
    
    # 将散点和线性数据进行 行拼接, 得到 2000行2列的数据
    join_point = np.concatenate([points, line], axis=0)
    plt.scatter(join_point[:, 0], join_point[:, 1], alpha=0.5, color="#ff0000")
    
    # 使横纵坐标等长
    plt.axis("equal")
    plt.show()

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3h5eTEwMjg_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center]

## 2.2 对点数据进行拉伸旋转平移: ##

**a.仿射变换，又称仿射映射，是指在几何中，一个向量空间进行一次线性变换并接上一个平移，变换为另一个向量空间。  
b.仿射变换可以进行平移、旋转、放缩、镜像等变化。  
c.仿射变换，可以保持原来的线共点、点共线的关系不变，保持原来相互平行的线仍然平行，保持原来的中点仍然是重点，保持原来在一直线上的几段线段的比例关系不变，但是仿射变换不能保持原来的线段长度不变，也不能保持原来夹角角度不变。**  
**d.仿射变换公式：**

\[ x 1 y 1 1 \] = \[ a 1 a 2 t x a 3 a 4 t y 0 0 1 \] ⋅ \[ x y 1 \] \\begin\{bmatrix\} x\_1\\\\ y\_1 \\\\ 1\\\\ \\end\{bmatrix\} = \\begin\{bmatrix\} a\_1 & a\_2 & t\_x \\\\ a\_3 & a\_4 & t\_y \\\\ 0 & 0 & 1\\\\ \\end\{bmatrix\} \\cdot \\begin\{bmatrix\} x\\\\ y \\\\ 1\\\\ \\end\{bmatrix\} ⎣⎡x1y11⎦⎤=⎣⎡a1a30a2a40txty1⎦⎤⋅⎣⎡xy1⎦⎤  
 其 中 ( t x , t y ) 表 示 平 移 量 ， 而 参 数 a i 则 反 映 了 图 像 旋 转 、 缩 放 等 变 化 。 其中 (t\_x,t\_y)表示平移量，而参数a\_i则反映了图像旋转、缩放等变化。 其中(tx,ty)表示平移量，而参数ai则反映了图像旋转、缩放等变化。  
**例如:**

""" 仿射变换，拉伸，旋转, 平移 """
    import numpy as np
    import matplotlib.pyplot as plt
    
    plt.switch_backend("TkAgg")
    # 随机生成 1000 行, 2列的范围从 (0-1)的数据
    points = np.random.random([1000, 2])
    
    # 生成均匀的1000个 0到2的数字
    random_num = np.linspace(0, 2, 1000)
    # 将 line_x 重调为 1000行 1 列的矩阵
    line_x = np.reshape(random_num, [1000, 1])
    # 将 line_x进行列拼接. 得到 1000行两列的数据, 该数据类似于 斜率 0.5的直线
    line = np.concatenate([line_x, line_x], axis=1)
    
    # 将散点和线性数据进行 行拼接, 得到 2000行2列的数据
    join_point = np.concatenate([points, line], axis=0)
    
    # 设置一个转换器(2行2列的矩阵), 该变换是 x 轴方向拉伸
    # 该矩阵的行列式也代表了面积的变化, 比如该行列式的为2,则代表变化后, 面积扩大了一倍
    A1 = np.array([[2, 0],
                  [0, 1]])
    
    # 进行仿射变换, 以下三种均为矩阵的点乘
    # affine_point = join_point.dot(A)
    # affine_point = np.dot(join_point, A)
    affine_point1 = join_point @ A1
    
    # 设置一个转换器(2行2列的矩阵),该变换是斜向拉伸
    A2 = np.array([[1, 0.5],
                   [0.5, 1]])
    affine_point2 = join_point @ A2
    
    
    # 单位矩阵, 做乘法保持以前大小形状角度不变
    A3 = np.array([[1, 0],
                   [0, 1]])
    # 平移矩阵, 标识向右平移1, 向上平移2
    B = np.array([1, 2])
    affine_point3 = join_point @ A3 + B
    
    
    # 将原图形旋转90度
    theta = np.pi/2
    A4 = np.array([[np.cos(theta), np.sin(theta)],
                  [-np.sin(theta), np.cos(theta)]])
    
    affine_point4 = join_point @ A4
    
    plt.scatter(join_point[:, 0], join_point[:, 1], alpha=0.2, color="#ff0000")
    plt.scatter(affine_point1[:, 0], affine_point1[:, 1], alpha=0.2, color="#0000ff")
    plt.scatter(affine_point2[:, 0], affine_point2[:, 1], alpha=0.2, color="#00ff00")
    plt.scatter(affine_point3[:, 0], affine_point3[:, 1], alpha=0.2, color="#000000")
    plt.scatter(affine_point4[:, 0], affine_point4[:, 1], alpha=0.2, color="#800080")
    
    
    # 使横纵坐标等长
    plt.axis("equal")
    plt.show()

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3h5eTEwMjg_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 1]

# 三. 利用仿射变换可以对图像进行操作 #

**还是拿我们喜爱的姚明同学举例:**  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3h5eTEwMjg_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 2]  
**将姚明同学逆过来:**

""" 将姚明同学逆过来 """
    import cv2
    import numpy as np
    
    # 获取图片并获取宽高信息
    img = cv2.imread("ym.png")
    h, w, c = img.shape
    
    # openCV的参数设置中, A和B写在了一起
    # 以y轴为标准做镜像, 并平移宽度 w的长度
    A = np.array([[-1., 0., w],
                  [0., 1, 0]])
    
    img = cv2.warpAffine(img, A, (w,  h))
    cv2.imshow("img", img)
    cv2.waitKey(0)

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3h5eTEwMjg_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 3]

# 四.对视频进行仿射变换 #

**例如:**

import cv2
    import numpy as np
    
    # 读取摄像的句柄,调去第一个摄像头
    cap = cv2.VideoCapture(0)
    # 构建读取循环
    while True:
        ret, img = cap.read()
        h, w, c = img.shape
        # 对影像做仿射变换
        A = np.array([[-1., 0., w],
                       [0., 1, 0]])
        img = cv2.warpAffine(img, A, (w, h))
        cv2.imshow("img", img)
        # 每隔100ms没响应则继续读取
        ret = cv2.waitKey(100)
        if ret == 97:
            break
    cv2.destroyAllWindows()

[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3h5eTEwMjg_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center]: /images/20221022/5f3e61a8694b4e1ab423adbfa402476a.png
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[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3h5eTEwMjg_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 2]: /images/20221022/f52c16d230fc4f40afb057f9ba83b04b.png
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