曲率圆中心坐标公式_基于Hessian矩阵的光条中心提取算法

左手的ㄟ右手 2023-01-10 09:53 11阅读 0赞

线结构光中心线的提取方法有阈值法、灰度重心法、

![equation?tex=steger][equation_tex_steger] 算法等。最近研究了

![equation?tex=steger][equation_tex_steger] 算法的原理，在这里记录一下自己的理解并展开一些细节，由于时间匆促没有进行实验验证。

本文大部分摘自---光条中心线提取-Steger算法（基于Hessian矩阵）\_人工智能\_Dangkie的专栏-CSDN博客，中间有些自己的补充。

*  **Steger算法原理**

![equation?tex=Steger][equation_tex_Steger] 算法基于

![equation?tex=Hessian][equation_tex_Hessian] 矩阵，能够实现光条中心亚像素精度定位。光条中心线截面光强分布类似高斯分布如图：

![5c65a0bc675550b633086e4787ddbdfc.png][]

那么光条中心点就是高斯分布顶点位置，最终所要求得的位置。为什么使用

![equation?tex=Hessian][equation_tex_Hessian] 矩阵来计算中心点，因为：

对于二维图像的某点的

![equation?tex=Hessian][equation_tex_Hessian]矩阵，其最大特征值和其对应的特征向量对应其邻域二维曲线最大曲率的强度和方向，即山坡陡的那面；最小特征值对应的特征向量对应与其垂直的方向，即平缓的方向。

首先通过

![equation?tex=Hessian][equation_tex_Hessian] 矩阵能够得到光条的法线方向，然后在法线方向利用泰勒展开得到亚像素位置。 对于图像中激光条纹上的任意一点

![equation?tex=%28x%2Cy%29][equation_tex_28x_2Cy_29] ，

![equation?tex=Hessian][equation_tex_Hessian] 矩阵可以表示为：

![equation?tex=H%28x%2Cy%29%3D%5Cleft%5B+r\_%7Bxx%7D+r\_%7Bxy%7D+%5C%5C+r\_%7Byy%7Dr\_%7Byx%7D%5Cright%5D][equation_tex_H_28x_2Cy_29_3D_5Cleft_5B_r_7Bxx_7D_r_7Bxy_7D_5C_5C_r_7Byy_7Dr_7Byx_7D_5Cright_5D]

其中

![equation?tex=r\_%7Bxx%7D][equation_tex_r_7Bxx_7D] 表示图像沿

![equation?tex=x][equation_tex_x] 的二阶偏导数，其他参数类似。需要注意的是在求

![equation?tex=Hessian][equation_tex_Hessian] 矩阵之前需要对图像进行高斯滤波，高斯滤波时，根据文献\[1\]中，设置高斯方差

![equation?tex=%CF%83%3C%5Cfrac%7Bw%7D%7B%5Csqrt%7B%CF%83%7D%7D][equation_tex_CF_83_3C_5Cfrac_7Bw_7D_7B_5Csqrt_7B_CF_83_7D_7D] ，其中

![equation?tex=w][equation_tex_w] 为光条宽度。

![equation?tex=Hessian][equation_tex_Hessian] 矩阵最大特征值对应的特征向量对应于光条的法线方向，用

![equation?tex=%28n\_%7Bx%7D%2Cn\_%7By%7D%29][equation_tex_28n_7Bx_7D_2Cn_7By_7D_29] 表示，以点

![equation?tex=%28x\_%7B0%7D%2Cy\_%7B0%7D%29][equation_tex_28x_7B0_7D_2Cy_7B0_7D_29] 为基准点，则光条中心的亚像素坐标为：

![6ea5571faf231de3a3dcf03fd1168e7c.png][]

公式中

![748b34de06c99bcd44b5e21bf873754c.png][]

如果

![78a1be390f45bd05ca0b94c1c6d6d484.png][]

，即一阶导数为零的点位于当前像素内（找拐点附近的点，因为实际中心截面不是规则的曲线），且

![equation?tex=%28n\_%7Bx%7D%2Cn\_%7By%7D%29][equation_tex_28n_7Bx_7D_2Cn_7By_7D_29] 方向的二阶导数大于指定的阈值（确定是极值点），则该点

![equation?tex=%28x\_%7B0%7D%2Cy\_%7B0%7D%29][equation_tex_28x_7B0_7D_2Cy_7B0_7D_29] 为光条的中心点，

![equation?tex=%28p\_%7Bx%7D%2Cp\_%7By%7D%29][equation_tex_28p_7Bx_7D_2Cp_7By_7D_29] 则为亚像素坐标。

![equation?tex=%28tn\_%7Bx%7D%2Ctn\_%7By%7D%29][equation_tex_28tn_7Bx_7D_2Ctn_7By_7D_29] 是中心点与亚像素的偏移量，所以其绝对值不能超过0.5，超过0.5就跑出该像素的范围。

![equation?tex=t][equation_tex_t] 是如何得到的？根据论文\[1\]这样一段话：

![2157ec1b4a938d6a1a5cf72661cf2c7f.png][]

函数

![equation?tex=r][equation_tex_r] 是

![equation?tex=%28x\_%7B0%7D%2Cy\_%7B0%7D%29][equation_tex_28x_7B0_7D_2Cy_7B0_7D_29]所在的函数，那么

![equation?tex=%28x\_%7B0%7D%2Cy\_%7B0%7D%29][equation_tex_28x_7B0_7D_2Cy_7B0_7D_29]附近点的精确亚像素点的函数可以用泰勒公式近似。于是有

![equation?tex=p%28x%29][equation_tex_p_28x_29] 。其中

![equation?tex=x%3D%E4%BA%9A%E5%83%8F%E7%B4%A0%E7%82%B9-x\_%7B0%7D][equation_tex_x_3D_E4_BA_9A_E5_83_8F_E7_B4_A0_E7_82_B9-x_7B0_7D] 。极值点是在导数为零的地方。但是t具体如何计算，现在还没看懂。

**关于之前t如何求解的补充**

由于前面已经求得激光线上点的Hessian矩阵，因此可得到矩阵最大特征值及其向量，该向量是激光线的法向量，现在想要得到激光线中心点亚像素位置，那么亚像素位置一定在其法向量与激光点邻域的交线上，激光点邻域可以使用二阶泰勒进行近似，那么激光点

![equation?tex=%28x\_%7B0%7D%2Cy\_%7B0%7D%29][equation_tex_28x_7B0_7D_2Cy_7B0_7D_29] 邻域点使用二阶泰勒表示为

![equation?tex=f%28x%2Cy%29][equation_tex_f_28x_2Cy_29] ，法向量为

![equation?tex=%28n\_%7Bx%7D%2Cn\_%7By%7D%29][equation_tex_28n_7Bx_7D_2Cn_7By_7D_29]，那么该函数沿法向量的方向导数为：

![equation?tex=%5CDelta+f%28x%2Cy%29%3D%5Cfrac%7Bn\_x%7D%7B%5Csqrt%7Bn\_x%5E%7B2%7D%2Bn\_y%5E%7B2%7D%7D%7Df\_x%7B%27%7D%28x%2Cy%29%2B%5Cfrac%7Bn\_y%7D%7B%5Csqrt%7Bn\_x%5E%7B2%7D%2Bn\_y%5E%7B2%7D%7D%7Df\_y%7B%27%7D%28x%2Cy%29][equation_tex_5CDelta_f_28x_2Cy_29_3D_5Cfrac_7Bn_x_7D_7B_5Csqrt_7Bn_x_5E_7B2_7D_2Bn_y_5E_7B2_7D_7D_7Df_x_7B_27_7D_28x_2Cy_29_2B_5Cfrac_7Bn_y_7D_7B_5Csqrt_7Bn_x_5E_7B2_7D_2Bn_y_5E_7B2_7D_7D_7Df_y_7B_27_7D_28x_2Cy_29]

该方向导数为0的点即是亚像素的中心点，因为它是最高点，变化率为0，所以令

![equation?tex=%5CDelta+f%28x%2Cy%29%3D0][equation_tex_5CDelta_f_28x_2Cy_29_3D0] ，求出对应的

![equation?tex=%28x%2Cy%29][equation_tex_28x_2Cy_29] 值，并将

![equation?tex=%28x\_0%2Btn\_%7Bx%7D%2Cy\_0%2Btn\_%7By%7D%29][equation_tex_28x_0_2Btn_7Bx_7D_2Cy_0_2Btn_7By_7D_29]带入，即可求出t的值。

1.Steger C. An unbiased detector of curvilinear structures. IEEE Trans Pattern Anal Mach Intell\[J\]. IEEE Transactions on Pattern Analysis & Machine Intelligence, 1998, 20(2):113-125.

[equation_tex_steger]: /images/20221119/21a368516ace494cb21c997fbb2acf3d.png
[equation_tex_Steger]: /images/20221119/2194b399aa0443fbbba821ec159e0da0.png
[equation_tex_Hessian]: /images/20221119/666b96abe1794873b525a05f367cfdca.png
[5c65a0bc675550b633086e4787ddbdfc.png]: /images/20221119/58f1dd285f3a448b9d9a3bb5461e6146.png
[equation_tex_28x_2Cy_29]: /images/20221119/6f5818c5090a4cb3880a9e4f6f3e1c95.png
[equation_tex_H_28x_2Cy_29_3D_5Cleft_5B_r_7Bxx_7D_r_7Bxy_7D_5C_5C_r_7Byy_7Dr_7Byx_7D_5Cright_5D]: https://www.zhihu.com/equation?tex=H%28x%2Cy%29%3D%5Cleft%5B+r_%7Bxx%7D+r_%7Bxy%7D+%5C%5C+r_%7Byy%7Dr_%7Byx%7D%5Cright%5D
[equation_tex_r_7Bxx_7D]: /images/20221119/ad4f37e33a6047e4a465afbb1244cd98.png
[equation_tex_x]: /images/20221119/4a8ab658dcf64227a9cff6a468f2c727.png
[equation_tex_CF_83_3C_5Cfrac_7Bw_7D_7B_5Csqrt_7B_CF_83_7D_7D]: /images/20221119/c34ff0e6f1804fbe958d65c5237b01cb.png
[equation_tex_w]: /images/20221119/243bf5cd310142229b6c678ae0abc98c.png
[equation_tex_28n_7Bx_7D_2Cn_7By_7D_29]: /images/20221119/113a8afb8c71450ebc333eac5490862e.png
[equation_tex_28x_7B0_7D_2Cy_7B0_7D_29]: /images/20221119/ff8b087f31494cb196f4ccfa7adede26.png
[6ea5571faf231de3a3dcf03fd1168e7c.png]: /images/20221119/954ea7d97f354947bc075bbccbac73a8.png
[748b34de06c99bcd44b5e21bf873754c.png]: /images/20221119/d98dad9c153840a1a01a365100f1c78f.png
[78a1be390f45bd05ca0b94c1c6d6d484.png]: /images/20221119/7f1b1a0a8ad14d008b457648ba9e6ef4.png
[equation_tex_28p_7Bx_7D_2Cp_7By_7D_29]: /images/20221119/36ed2032e90b4f1d96ac37aceeaff4aa.png
[equation_tex_28tn_7Bx_7D_2Ctn_7By_7D_29]: /images/20221119/e1ed42b19199428080c34c900ea75bcd.png
[equation_tex_t]: https://www.zhihu.com/equation?tex=t
[2157ec1b4a938d6a1a5cf72661cf2c7f.png]: /images/20221119/b59aefc6b9bc49f8acd7f65000437377.png
[equation_tex_r]: /images/20221119/c66af21747834298b8eeb5305c5bf617.png
[equation_tex_p_28x_29]: /images/20221119/1e199def5a5b4512a78074a116826738.png
[equation_tex_x_3D_E4_BA_9A_E5_83_8F_E7_B4_A0_E7_82_B9-x_7B0_7D]: /images/20221119/4a8ab658dcf64227a9cff6a468f2c727.png%3D%E4%BA%9A%E5%83%8F%E7%B4%A0%E7%82%B9-x_%7B0%7D
[equation_tex_f_28x_2Cy_29]: /images/20221119/35ef7415481d4876bccf583ae4d278af.png
[equation_tex_5CDelta_f_28x_2Cy_29_3D_5Cfrac_7Bn_x_7D_7B_5Csqrt_7Bn_x_5E_7B2_7D_2Bn_y_5E_7B2_7D_7D_7Df_x_7B_27_7D_28x_2Cy_29_2B_5Cfrac_7Bn_y_7D_7B_5Csqrt_7Bn_x_5E_7B2_7D_2Bn_y_5E_7B2_7D_7D_7Df_y_7B_27_7D_28x_2Cy_29]: https://www.zhihu.com/equation?tex=%5CDelta+f%28x%2Cy%29%3D%5Cfrac%7Bn_x%7D%7B%5Csqrt%7Bn_x%5E%7B2%7D%2Bn_y%5E%7B2%7D%7D%7Df_x%7B%27%7D%28x%2Cy%29%2B%5Cfrac%7Bn_y%7D%7B%5Csqrt%7Bn_x%5E%7B2%7D%2Bn_y%5E%7B2%7D%7D%7Df_y%7B%27%7D%28x%2Cy%29
[equation_tex_5CDelta_f_28x_2Cy_29_3D0]: https://www.zhihu.com/equation?tex=%5CDelta+f%28x%2Cy%29%3D0
[equation_tex_28x_0_2Btn_7Bx_7D_2Cy_0_2Btn_7By_7D_29]: https://www.zhihu.com/equation?tex=%28x_0%2Btn_%7Bx%7D%2Cy_0%2Btn_%7By%7D%29