C语言经典递推算法之杨辉三角展开（详解）

末蓝、 2023-01-09 15:50 190阅读 0赞

### 文章目录 ###

*   *  一、递推算法
     *  二、杨辉三角展开

## 一、递推算法 ##

这是一种比较简单的算法，即通过已知条件，利用特定关系得到中间结论，然后得到最后结果的算法。递推算法可以分为顺推和逆推两种。

## 二、杨辉三角展开 ##

**1、杨辉三角**

*  杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列。
 *  杨辉三角的性质：  
    每个数等于它上方两数之和。  
    每行数字左右对称，由1开始逐渐变大。  
    第n行的数字有n项。  
    前n行共\[(1+n)n\]/2 个数。  
    第n行的m个数可表示为 C(n-1，m-1)，即为从n-1个不同元素中取m-1个元素的组合数。  
    第n行的第m个数和第n-m+1个数相等 ，为组合数性质之一。

**2、算法步骤**  
（1）每个数字等于上一行的左右两个数字之和。可用此性质写出整个杨辉三角。即第n+1行的第i个数等于第n行的第i-1个数和第i个数之和，这也是组合数的性质之一。即 `C(n+1,i)=C(n,i)+C(n,i-1)`。

（2）(a+b)n的展开式中的各项系数依次对应杨辉三角的第(n+1)行中的每一项。

（3）将第2n+1行第1个数，跟第2n+2行第3个数、第2n+3行第5个数……连成一线，这些数的和是第4n+1个斐波那契数；将第2n行第2个数(n>1)，跟第2n-1行第4个数、第2n-2行第6个数……这些数之和是第4n-2个斐波那契数。

（4）将第n行的数字分别乘以10（m-1），其中m为该数所在的列，再将各项相加的和为11（n-1）

**3、C语言实现**

#include <stdio.h>
    #define N 8
    
    void main()
    { 
    	int a[N+1][N+1], i, j;
    	for(i=0; i<=N; i++)
    	{ 
    		a[i][i]= a[i][0]= 1;
    	}
    	for(i=2; i<=N; i++)
    	{ 
    		for(j=1; j<i; j++)
    		{ 
    			a[i][j]= a[i-1][j]+ a[i-1][j-1];
    		}
    	}
    	printf("%d 阶杨辉三角：\n", N+1);
    	for(i=0; i<=N; i++)
    	{ 
    		for(j=0; j<=i; j++)
    			printf("%4d",a[i][j]);
    		printf("\n"); 
    	}
    }

![01][]

**4、算法思想**  
使用二维数组存放杨辉三角中的数据元素，初始时，将第1列和对角线上的元素初始化为1，即`a[i][0]=a[i][i]=1`，  
然后利用每一行元素值是它上一层两个相邻元素之和求其他元素值，即`a[i][j]= a[i-1][j]+a[i-1][j-1]`。

参考文献：《The Function and Algorithm of Program Language C/C++》

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