曲线绕y轴旋转一周所得旋转体体积_体积有限，表面积却无限大？认识神奇的“托里拆利小号”...

﹏ヽ暗。殇╰゛Y 2023-01-04 14:42 34阅读 0赞

日常生活中，我们接触到的物体，往往都具有固定的体积和表面积。如果说存在这样一种东西，它的体积是有限的，表面积却无限大，您会不会觉得不可思议。事实上这种东西真的存在，就是我们今天的主角：**托里拆利小号。**

就是那个发明气压计的托里拆利，其实他在数学方面也是有很高的成就，尤其是进一步发展了卡瓦列里的“不可分原理”，这也为牛顿莱布尼兹发明的微积分打下了坚实的基础。下面我们就来看下，他是怎么构造出来这个神奇的小号的。

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其实构造的方法非常简单，我们先将一个反比例函数y=1/x的图像，将x=1左边的部分去掉只保留右边的部分，然后将剩下的曲线部分围绕x轴旋转一周就得到了这样一个小号。

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让我们来计算一下这个“小号”的体积，**小号的体积可以视作无限个小圆柱体叠加，每个小圆柱体的体积为πy^2dx**，非常简单的微积分知识就可以求得，：

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可以看出在x趋向正无穷，这个小号的体积是有限的；我们再来计算一下它的表面积，**小号的表面积可以视作无限个小圆环的面积叠加，每个小圆环的面积为2πydx**，我们得到：

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这样我们就计算出我们开始提到的那个神奇的结论：这个小号体积是有限的，表面积却是无限大的。这有悖于我们的直觉，**因为如果要填满整个托里拆利小号只需要有限的油漆，但把托里拆利小号的表面刷一遍，却需要无限多的油漆！**

之所以会如此的反直觉，就是因为无限这个概念的引入。事实上，无限这个概念只是个数学的概念，在现实的物理环境中，并不存在真正的无限。在这个托里拆利小号的模型中，我们是假定小号的管壁无限薄，在x趋向正无穷的时候，尽管小号的管径已经无限小了，但永远是不闭合的，所以才会产生这个看似违反常识的结论。其实，我们尝试对无限这个概念深入了解一下，就会发现，小号的表面积虽然无限大，但是并不代表刷满它需要无限多的油漆，也许我们用一滴油漆就足够，因为我们可以把油漆刷的无限薄，一滴油漆也是可以铺满无限大的面积的。

让我们跳出小号这个模型，再深入了解一下，小号的体积是三维的，表面积是二维的，实际上由低维的无限构成高维的有限，我们还可以构建非常多类似的模型：

1.点是0维的，无限多的点可以构成有限长度的线段。

2.给定的一个矩形，我们知道了长和宽之后，这个矩形的面积和周长都是固定的了，如果我们把这个长方形对边交错挖去一个小长条，就会得到一个新的图形，我们新得到的这个图形的面积肯定是小于这个矩形的，但是周长肯定要长很多的，如果我们将挖去的这个小长条的宽度变得无限窄，你会发现，得到的图形的面积是有限的，但是周长却无限大。

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3.烤面筋这个美食大家都吃过，将一个面筋螺线切开之后，它的体积肯定是没有变化的和之前一样，但是这个时候表面积就比之前增加很多了。如果有个烧烤师傅手艺足够好，可以把面筋切的无限薄，你会发现，这个烤面筋体积固定，但是表面积却无限大，用再多的烧烤料也涂不满。

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无限这个概念是非常重要的概念，是数学中处理问题的重要工具，之所以很多时候引入无限这个概念的时候我们觉得有悖常识，那是对它的了解还不够多。革命尚未成功，同志仍需努力！

打破砂锅，刨根问底，我是锅哥。

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