连杆间的速度传递

朱雀 2022-12-08 14:21 95阅读 0赞

# 连杆间的速度传递 #

连杆 i + 1 i+1 i\+1的速度就是连杆 i i i的速度加上那些附加到关节 i + 1 i+1 i\+1的新的速度分量。注意线速度是相对于一点的的，而角速度是相对于一个物体的，因此，“连杆的速度”指的是连杆坐标系原点的线速度和连杆的角速度。

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如上图所示，将机构的每一个连杆看作为一个刚体，可以用线速度矢量和角速度矢量描述其运动。可以用连杆坐标系本身描述这些速度，而不用基坐标系。

当两个 w w w矢量都是相对于同一个坐标系时，那么这些角速度能够相加。因此，连杆 i + 1 i+1 i\+1的角速度等于连杆 i i i的角速度加上一个由于关节 i + 1 i+1 i\+1的角速度引起的分量。这个关系可以写成  
 i w i + 1 = i w i + i + 1 i R θ ˙ i + 1   i + 1 Z ^ i + 1 (5-43) ^iw\_\{i+1\}=^iw\_i+ \_\{i+1\} ^i R \\dot \\theta \_\{i+1\} \\ ^\{i+1\}\\widehat Z\_\{i+1\} \\tag\{5-43\} iwi\+1=iwi\+i\+1iRθ˙i\+1 i\+1Zi\+1(5\-43)

其中  
 θ ˙ i + 1   i + 1 Z ^ i + 1 = i + 1 \[ 0 0 θ ˙ i + 1 \] (5-44) \\dot \\theta\_\{i+1\} \\ ^\{i+1\}\\widehat Z\_\{i+1\}=^\{i+1\} \\left \[ \\begin\{matrix\} 0 \\\\ 0\\\\ \\dot\\theta\_\{i+1\} \\end\{matrix\} \\right\] \\tag\{5-44\} θ˙i\+1 i\+1Zi\+1=i\+1⎣⎡00θ˙i\+1⎦⎤(5\-44)

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L0dhbGF4eV9Sb2JvdA_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 1]

如上图所示，连杆\{i+1\}的角速度等于连杆\{i+1\}的旋转速度加上连杆\{i\}的附加旋转分量，这需要把坐标系\{i+1\}的旋转变换为坐标系\{i\}中的描述，这两个角速度才能够相加。

方程（5-43）两边同时左乘 i i + 1 R ^\{i+1\}\_\{i\}R ii\+1R，可以得到连杆\{i+1\}的角速度相对于坐标系\{i+1\}的表达式  
 i + 1 w i + 1 = i i + 1 R   i w i + θ ˙ i + 1   i + 1 Z ^ i + 1 (5-45) ^\{i+1\}w\_\{i+1\}=^\{i+1\}\_iR \\ ^iw\_i+\\dot\\theta\_\{i+1\}\\ ^\{i+1\}\\widehat Z\_\{i+1\} \\tag\{5-45\} i\+1wi\+1=ii\+1R iwi\+θ˙i\+1 i\+1Zi\+1(5\-45)  
坐标系\{i+1\}原点的线速度等于坐标系\{i\}原点的线速度加上一个由于连杆i的角速度引起的新的分量。这与上一篇博文《速度与矢量的微分》的式（5-13）描述的情况完全相同。由于 i P i + 1 ^iP\_\{i+1\} iPi\+1在坐标系\{i\}中是常数，所以其中一项就消失了。因此有  
 i i + 1 v = i v i + i w i × i P i + 1 (5-46) i^v\_\{i+1\}=^iv\_i+^iw\_\{i\}\\times ^iP\_\{i+1\} \\tag\{5-46\} ii\+1v=ivi\+iwi×iPi\+1(5\-46)  
两边同时左乘 i i + 1 R ^\{i+1\}\_iR ii\+1R，得到  
 i + 1 v i + 1 = i i + 1 R ( i v i + i w i × i P i + 1 ) (5-47) ^\{i+1\}v\_\{i+1\}=^\{i+1\}\_iR(^iv\_i+^iw\_i\\times^iP\_\{i+1\}) \\tag\{5-47\} i\+1vi\+1=ii\+1R(ivi\+iwi×iPi\+1)(5\-47)  
另外对于关节\{i+1\}为移动关节时，相应的关系为  
 i + 1 w i + 1 = i i + 1 R   i w i i + 1 v i + 1 = i i + 1 R ( i v i + i w i × i P i + 1 ) + d ˙ i + 1   i + 1 Z ^ i + 1 (5-48) ^\{i+1\}w\_\{i+1\}=^\{i+1\}\_iR\\ ^iw\_i \\\\ ^\{i+1\}v\_\{i+1\}=^\{i+1\}\_iR(^iv\_i+^iw\_i\\times ^iP\_\{i+1\})+\\dot d\_\{i+1\}\\ ^\{i+1\}\\widehat Z\_\{i+1\} \\tag\{5-48\} i\+1wi\+1=ii\+1R iwii\+1vi\+1=ii\+1R(ivi\+iwi×iPi\+1)\+d˙i\+1 i\+1Zi\+1(5\-48)  
从一个连杆到下一个连杆依次利用上面的速度传递公式，可以计算出随后一个连杆的角速度 N w N ^Nw\_N NwN和线速度 N v N ^Nv\_N NvN。如果利用基座标来表达角速度和线速度的话，就可以用 N 0 R ^0\_NR N0R去左乘速度，向极坐标系进行旋转变换。

参考文献

\[1\] JOHN J.CRAIG. 机器人学导论: 第3版\[M\]. 机械工业出版社, 2006.

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