Java基础-二叉树

秒速五厘米 2022-12-05 05:20 187阅读 0赞

## 1.二叉树简介 ##

**树（Tree）**：  
是n（n>=0)个结点的有限集。n=0时称为空树

树的性质：

*  有且仅有一个特定的称为根（Root）的结点
 *  当n>1时，其余结点可分为m(m>0)个互不相交的有限集T1、T2、…、Tn，其中每一个集合本身又是一棵树，并且称为根的子树
 *  n>0时根结点是唯一的，不可能存在多个根结点，数据结构中的树只能有一个根结点
 *  m>0时，子树的个数没有限制，但它们一定是互不相交的

普通树示例图：

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3h1ZWd1Y2hlbg_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center]

**二叉树：**  
二叉树是由n（n>=0）个结点组成的有序集合，集合或者为空，或者是由一个根节点加上两棵分别称为左子树和右子树的、互不相交的二叉树组成

**二叉树特点：**

1.  每个结点最多有两颗子树，所以二叉树中不存在度大于2的结点
2.  左子树和右子树是有顺序的，次序不能任意颠倒
3.  即使树中某结点只有一棵子树，也要区分它是左子树还是右子树

**二叉树性质：**

1.  二叉树层数 >= 1，第i层上最多有2^(i-1) 个节点
2.  二叉树层数 >= 1，深度为k，最多有2^k - 1 个节点
3.  n0=n2+1 ，n0表示度数为0的节点数，n2表示度数为2的节点数
4.  在完全二叉树中，具有n个节点的完全二叉树的深度为\[log2n\]+1，其中\[log2n\]是向下取整
5.  若对含 n 个结点的完全二叉树从上到下且从左至右进行 1 至 n 的编号，则对完全二叉树中任意一个编号为 i 的结点有如下特性：  
    ① 若 i=1，则该结点是二叉树的根，无双亲, 否则，编号为 \[i/2\] 的结点为其双亲结点  
    ② 若 2i>n，则该结点无左孩子， 否则，编号为 2i 的结点为其左孩子结点  
    ③ 若 2i+1>n，则该结点无右孩子结点， 否则，编号为2i+1 的结点为其右孩子结点

**相关概念：**

*  结点：数据结构中的基础，是构成复杂数据结构的基本组成单位
 *  结点的度：结点拥有的子树的数目
 *  结点关系：结点子树的根结点为该结点的孩子结点。相应该结点称为孩子结点的双亲结点。如下例图中的二叉树，8是3的双亲结点，3是8的孩子结点。同一个双亲结点的孩子结点之间互称兄弟结点，3和10即是兄弟结点。
 *  结点层次：从根开始定义起，根为第一层，根的孩子为第二层，以此类推  
    ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3h1ZWd1Y2hlbg_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 1]
 *  树的深度：树中结点的最大层次数称为树的深度或高度

**二叉树示例图**：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3h1ZWd1Y2hlbg_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 2]  
**二叉树的五种形态：**  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3h1ZWd1Y2hlbg_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 3]

## 2.满二叉树 ##

在一棵二叉树中。如果所有分支结点都存在左子树和右子树，并且所有叶子都在同一层上，这样的二叉树称为满二叉树

特点：

*  叶子只能出现在最下一层。出现在其它层就不可能达成平衡
 *  分支结点的度一定是2
 *  在同样深度的二叉树中，满二叉树的结点个数最多，叶子数最多

**满二叉树实例图：**

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3h1ZWd1Y2hlbg_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 4]

## 3.完全二叉树 ##

对于一棵具有n个节点的二叉树按照层次编号，同时，左右子树按照先左后右编号，如果编号为i的节点与同样深度的满二叉树中编号为i的节点在二叉树中的位置完全相同，则这棵二叉树称为完全二叉树

特点：

*  叶子结点只能出现在最下层和次下层
 *  最下层的叶子结点集中在树的左部
 *  倒数第二层若存在叶子结点，一定在右部连续位置
 *  如果结点度为1，则该结点只有左孩子，即没有右子树
 *  同样结点数目的二叉树，完全二叉树深度最小

注意：满二叉树一定是完全二叉树，但反过来不一定成立

**完全二叉树示例图：**

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3h1ZWd1Y2hlbg_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 5]

## 4.遍历方式 ##

#### 4.1 前序遍历 ####

从二叉树的根结点出发，当第一次到达结点时就输出结点数据，按照先向左在向右的方向访问

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3h1ZWd1Y2hlbg_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 6]  
从根结点出发，则第一次到达结点A，故输出A  
继续向左访问，第一次访问结点B，故输出B  
按照同样规则，输出D，输出H  
当到达叶子结点H，返回到D，此时已经是第二次到达D，故不在输出D，进而向D右子树访问，D右子树不为空，则访问至I，第一次到达I，则输出I  
I为叶子结点，则返回到D，D左右子树已经访问完毕，则返回到B，进而到B右子树，第一次到达E，故输出E  
向E左子树，故输出J  
按照同样的访问规则，继续输出C、F、G

前序遍历输出为：ABDHIEJCFG

#### 4.2 中序遍历 ####

从二叉树的根结点出发，当第二次到达结点时就输出结点数据，按照先向左在向右的方向访问

从根结点出发，则第一次到达结点A，不输出A，继续向左访问，第一次访问结点B，不输出B；继续到达D，H  
到达H，H左子树为空，则返回到H，此时第二次访问H，故输出H  
H右子树为空，则返回至D，此时第二次到达D，故输出D  
由D返回至B，第二次到达B，故输出B  
按照同样规则继续访问，输出J、E、A、F、C、G

中序遍历输出为：HDIBJEAFCG

#### 4.3 后序遍历 ####

从二叉树的根结点出发，当第三次到达结点时就输出结点数据，按照先向左在向右的方向访问

从根结点出发，则第一次到达结点A，不输出A，继续向左访问，第一次访问结点B，不输出B；继续到达D，H  
到达H，H左子树为空，则返回到H，此时第二次访问H，不输出H  
H右子树为空，则返回至H，此时第三次到达H，故输出H  
由H返回至D，第二次到达D，不输出D  
继续访问至I，I左右子树均为空，故第三次访问I时，输出I  
返回至D，此时第三次到达D，故输出D  
按照同样规则继续访问，输出J、E、B、F、G、C，A

后序遍历输出为：HIDJEBFGCA

#### 4.4 层次遍历 ####

按照树的层次自上而下的遍历二叉树

层次遍历结果为：ABCDEFGHIJ

## 5.二叉树的存储结构 ##

#### 5.1 基于数组的实现 ####

使用一维数组存储二叉树中的结点，并且结点的存储位置，就是数组的下标索引  
通过浪费索引为 0 的地址，使得所有的 左节点 的索引都变成了 2i （i 为节点的高度），所有的 右节点 的索引都变成了 2i +1

优点：

*  可以通过下标随机访问某已知高度的节点
 *  节省了存储指向子节点地址的指针所需要的空间

缺点：

*  表示非完全二叉树时要浪费一定的空间
 *  二叉树的扩容操作时间复杂度为 O(n)，要对数组的数据进行搬运

适用场景：  
数据存储量小，访问量大，插入删除操作少

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3h1ZWd1Y2hlbg_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 7]  
其中，∧表示数组中此位置没有存储结点。此时可以发现，会有空间浪费的情况

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3h1ZWd1Y2hlbg_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 8]

#### 5.2 基于链表的实现 ####

*  data：表示数据域，用于存储对应的数据元素
 *  lchild：表示左指针域，用于存储左孩子结点
 *  rchild：表示右指针域，用于存储右孩子结点

优点：

*  扩容方便
 *  插入、删除操作的时间复杂度都是 O(logn) （与 二分查找法 一致）

缺点：

*  访问数据的时间复杂度相对数组存储要高，时间复杂度为 O(logn) （与 二分查找法 一致）

适用场景：

*  存储数据量大，插入删除频繁，数据读取操作较少

![在这里插入图片描述][20200909170350333.png_pic_center]  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3h1ZWd1Y2hlbg_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 9]

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