【Advanced控制理论】Nonlinear Backstepping Control反馈线性化控制基本原理及Simulink仿真（附Simulink程序）

悠悠 2022-11-28 15:12 101阅读 0赞

最近在学习b站上DR\_CAN的Advanced控制理论课程，打算将自己感觉重要的部分以BLOG的方式记笔记。本节课链接为：**https://www.bilibili.com/video/BV1BW411M7v4**

假设一模型图如下，  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2tlaXZlbl8_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center]  
其中 α \\alpha α为弹性系数，物块质量为 m m m，物块水平位移记为 x x x，在物块右端施加一外力使得物块以期望轨迹运动。其动态方程可写为： m x ¨ + α x 3 = F m\\ddot\{x\}+\\alpha x^\{3\}=F mx¨\+αx3=F

令： F = u — — ( I n p u t ) F=u——(Input) F=u——(Input) x 1 = x — — ( D i s p l a c e m e n t ) x\_\{1\}=x——(Displacement) x1=x——(Displacement) x 2 = x ˙ — — ( V e l o c i t y ) x\_\{2\}=\\dot\{x\}——(Velocity) x2=x˙——(Velocity)  
可得： x 1 ˙ = x ˙ = x 2 (1) \\dot\{x\_\{1\}\}=\\dot\{x\}=x\_\{2\} \\tag\{1\} x1˙=x˙=x2(1) x 2 ˙ = x ¨ = − α m x 1 3 + 1 m u (2) \\dot\{x\_\{2\}\}=\\ddot\{x\}=-\\frac\{\\alpha\}\{m\}x\_\{1\}^\{3\}+\\frac\{1\}\{m\}u \\tag\{2\} x2˙=x¨=−mαx13\+m1u(2)

求出 u u u即可求得 x 2 ˙ \\dot\{x\_\{2\}\} x2˙，即可求得 x 1 ˙ \\dot\{x\_\{1\}\} x1˙，这种方式称为*Chain of Integrator*。  
引入 e ( e r r o r ) e(error) e(error)，其中 x 1 d x\_\{1d\} x1d为期望的 x 1 x\_\{1\} x1值， e = x 1 d − x 1 (3) e=x\_\{1d\}-x\_\{1\}\\tag\{3\} e=x1d−x1(3) e ˙ = x 1 d ˙ − x 1 ˙ = x 1 d ˙ − x 2 (4) \\dot\{e\}=\\dot\{x\_\{1d\}\}-\\dot\{x\_\{1\}\}=\\dot\{x\_\{1d\}\}-x\_\{2\}\\tag\{4\} e˙=x1d˙−x1˙=x1d˙−x2(4)

我们的目标是 e → 0 e\\rightarrow0 e→0，即需要找到*Lyapunov*函数 V ( e ) V(e) V(e)，使得 V ( e ) V(e) V(e)为 P D PD PD， V ˙ ( e ) \\dot\{V\}(e) V˙(e)为 N D ND ND，即可得到 e → 0 e\\rightarrow0 e→0。设 V 1 = 1 2 e 2 (5) V\_\{1\}=\\frac\{1\}\{2\}e^\{2\}\\tag\{5\} V1=21e2(5)

这样 V 1 ( 0 ) = 0 且 V 1 ( e ≠ 0 ) > 0 V\_\{1(0)\}=0且V\_\{1(e\\neq0)\}>0 V1(0)=0且V1(e=0)>0，即 V 1 V\_\{1\} V1为 P D PD PD， V 1 ˙ = ∂ V 1 ∂ e ⋅ d e d t = e e ˙ = e ( x 1 d ˙ − x 2 ) (6) \\dot\{V\_\{1\}\}=\\frac\{\\partial V\_\{1\}\}\{\\partial e\}·\\frac\{de\}\{dt\}=e\\dot\{e\}=e(\\dot\{x\_\{1d\}\}-x\_\{2\})\\tag\{6\} V1˙=∂e∂V1⋅dtde=ee˙=e(x1d˙−x2)(6)

我们希望 V ˙ 1 \\dot\{V\}\_\{1\} V˙1为 N D ND ND，设： x 2 d = x ˙ 1 d + k 1 e (7) x\_\{2d\}=\\dot\{x\}\_\{1d\}+k\_\{1\}e\\tag\{7\} x2d=x˙1d\+k1e(7)

其中 k 1 > 0 k\_\{1\}>0 k1>0为系统增益(*GAIN*)， x 2 d x\_\{2d\} x2d为期望的 x 2 x\_\{2\} x2值，这样代入 ( 6 ) (6) (6)式可得 V ˙ 1 = − k 1 e 2 \\dot\{V\}\_\{1\}=-k\_\{1\}e^\{2\} V˙1=−k1e2为 N D ND ND，所以我们的新目标为 δ → 0 \\delta\\rightarrow0 δ→0，其中： δ = x 2 d − x 2 (8) \\delta=x\_\{2d\}-x\_\{2\}\\tag\{8\} δ=x2d−x2(8) δ ˙ = x 2 d ˙ − x 2 ˙ (8.5) \\dot\{\\delta\}=\\dot\{x\_\{2d\}\}-\\dot\{x\_\{2\}\}\\tag\{8.5\} δ˙=x2d˙−x2˙(8.5)

将 ( 8 ) (8) (8)式代入 ( 6 ) (6) (6)式和 ( 7 ) (7) (7)式可得： V 1 ˙ = e ( x 1 d ˙ − ( x 2 d − δ ) ) = − k 1 e 2 + e δ (9) \\dot\{V\_\{1\}\}=e(\\dot\{x\_\{1d\}\}-(x\_\{2d\}-\\delta))=-k\_\{1\}e^\{2\}+e\\delta\\tag\{9\} V1˙=e(x1d˙−(x2d−δ))=−k1e2\+eδ(9)

我们期望 e δ → 0 e\\delta\\rightarrow0 eδ→0，即有这样一个系统 V ( e , δ ) V\_\{(e,\\delta)\} V(e,δ)为 P D PD PD， V ˙ ( e , δ ) \\dot\{V\}\_\{(e,\\delta)\} V˙(e,δ)为 N D ND ND。将 ( 8.5 ) (8.5) (8.5)式代入 ( 2 ) (2) (2)式和 ( 7 ) (7) (7)式可得： δ ˙ = x ¨ 1 d + k 1 e ˙ − ( − α m x 1 3 + 1 m u ) \\dot\{\\delta\}=\\ddot\{x\}\_\{1d\}+k\_\{1\}\\dot\{e\}-(-\\frac\{\\alpha\}\{m\}x\_\{1\}^\{3\}+\\frac\{1\}\{m\}u) δ˙=x¨1d\+k1e˙−(−mαx13\+m1u)

再代入 ( 4 ) (4) (4)式可得： δ ˙ = x ¨ 1 d + k 1 ( x 1 d ˙ − x 2 ) + α m x 1 3 − 1 m u (10) \\dot\{\\delta\}=\\ddot\{x\}\_\{1d\}+k\_\{1\}(\\dot\{x\_\{1d\}\}-x\_\{2\})+\\frac\{\\alpha\}\{m\}x\_\{1\}^\{3\}-\\frac\{1\}\{m\}u\\tag\{10\} δ˙=x¨1d\+k1(x1d˙−x2)\+mαx13−m1u(10)

设 V 2 = V 1 + 1 2 δ 2 （ P D ） V\_\{2\}=V\_\{1\}+\\frac\{1\}\{2\}\\delta^\{2\}（PD） V2=V1\+21δ2（PD） V ˙ 2 = V ˙ 1 + δ δ ˙ \\dot\{V\}\_\{2\}=\\dot\{V\}\_\{1\}+\\delta\\dot\{\\delta\} V˙2=V˙1\+δδ˙

代入 ( 9 ) (9) (9)式得： V ˙ 2 = − k 1 e 2 + e δ + δ δ ˙ = − k 1 e 2 + δ ( e + δ ˙ ) \\dot\{V\}\_\{2\}=-k\_\{1\}e^\{2\}+e\\delta+\\delta\\dot\{\\delta\}=-k\_\{1\}e^\{2\}+\\delta(e+\\dot\{\\delta\}) V˙2=−k1e2\+eδ\+δδ˙=−k1e2\+δ(e\+δ˙)

我们期望 V ˙ 2 \\dot\{V\}\_\{2\} V˙2为 ( N D ) (ND) (ND)，则假设 e + δ ˙ = − k 2 δ e+\\dot\{\\delta\}=-k\_\{2\}\\delta e\+δ˙=−k2δ

其中 k 2 > 0 k\_\{2\}>0 k2>0为系统增益（*GAIN*），将上式代入 ( 10 ) (10) (10)可得： e + x ¨ 1 d + k 1 ( x 1 d ˙ − x 2 ) + α m x 1 3 − 1 m u = − k 2 δ e+\\ddot\{x\}\_\{1d\}+k\_\{1\}(\\dot\{x\_\{1d\}\}-x\_\{2\})+\\frac\{\\alpha\}\{m\}x\_\{1\}^\{3\}-\\frac\{1\}\{m\}u=-k\_\{2\}\\delta e\+x¨1d\+k1(x1d˙−x2)\+mαx13−m1u=−k2δ

整理得： u = m e + m x ¨ 1 d + m k 1 ( x ˙ 1 d − x 2 ) + α x 1 3 + m k 2 δ (11) u= me+m\\ddot\{x\}\_\{1d\}+mk\_\{1\}(\\dot\{x\}\_\{1d\}-x\_\{2\})+\\alpha x\_\{1\}^\{3\}+mk\_\{2\}\\delta\\tag\{11\} u=me\+mx¨1d\+mk1(x˙1d−x2)\+αx13\+mk2δ(11)

检验：将 ( 8 ) (8) (8)式代入 ( 4 ) (4) (4)式和 ( 7 ) (7) (7)式可得： e ˙ = x 1 d ˙ − x 2 d + δ = x 1 d ˙ − ( x ˙ 1 d + k 1 e ) + δ = − k 1 e + δ \\dot\{e\}=\\dot\{x\_\{1d\}\}-x\_\{2d\}+\\delta=\\dot\{x\_\{1d\}\}-(\\dot\{x\}\_\{1d\}+k\_\{1\}e)+\\delta=-k\_\{1\}e+\\delta e˙=x1d˙−x2d\+δ=x1d˙−(x˙1d\+k1e)\+δ=−k1e\+δ

将 ( 11 ) (11) (11)式代入 ( 10 ) (10) (10)式可得： δ ˙ = − e − k 2 δ \\dot\{\\delta\}=-e-k\_\{2\}\\delta δ˙=−e−k2δ

将结果写成矩阵的形式为： \[ e ˙ δ ˙ \] = \[ − k 1 1 − 1 − k 2 \] \[ e   δ \] \\begin\{bmatrix\}\\dot\{e\}\\\\\\dot\{\\delta\}\\end\{bmatrix\}=\\begin\{bmatrix\}-k\_\{1\}&1\\\\-1&-k\_\{2\}\\end\{bmatrix\}\\begin\{bmatrix\} e\\\\\\ \\delta\\end\{bmatrix\} \[e˙δ˙\]=\[−k1−11−k2\]\[e δ\]

可以看到他们之间为线性关系，整个过程称为**Feedback Linearization**，设： λ 1 + λ 2 = Λ = − k 1 − k 2 < 0 \\lambda\_\{1\}+\\lambda\_\{2\}=\\Lambda=-k\_\{1\}-k\_\{2\}<0 λ1\+λ2=Λ=−k1−k2<0 λ 1 ⋅ λ 2 = ∣ A ∣ = k 1 k 2 + 1 > 0 \\lambda\_\{1\}·\\lambda\_\{2\}=|A|=k\_\{1\}k\_\{2\}+1>0 λ1⋅λ2=∣A∣=k1k2\+1>0

得出： λ 1 < 0 , λ 2 < 0 \\lambda\_\{1\}<0,\\lambda\_\{2\}<0 λ1<0,λ2<0

关于系统的平衡点，可以看到 当 \[ e ˙ δ ˙ \] = 0 时 \[ e   δ \] = 0 当\\begin\{bmatrix\}\\dot\{e\}\\\\\\dot\{\\delta\}\\end\{bmatrix\}=0时\\begin\{bmatrix\} e\\\\\\ \\delta\\end\{bmatrix\}=0 当\[e˙δ˙\]=0时\[e δ\]=0

系统为*Asympototically Stable*。

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接下来进行*Matlab Simulink*仿真如下：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2tlaXZlbl8_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 1]  
Desired系统如下图：![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2tlaXZlbl8_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 2]  
当输入为正弦曲线时，系统进行仿真得到结果如图，其中黄线为期望轨迹，蓝线为控制器实现的轨迹，可以看到5s后的曲线轨迹追踪基本一致。![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2tlaXZlbl8_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 3]  
此时我们也可以得到输入u的曲线图，即输入F的曲线如下：![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2tlaXZlbl8_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 4]  
**Simulink程序源文件：**  
链接：https://pan.baidu.com/s/17UZsi\_GtJT-a0\_cGKPqNAw  
提取码：tvvo

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