数字图像学笔记——9. 几种常见的空间滤波器（锐化滤波）

忘是亡心i 2022-11-05 08:52 475阅读 0赞

> 在上一章内容中，介绍了两种比较常用，而且简单的滤波器；在这一章里，要引入一个比较复杂的滤波器——锐化滤波。要弄懂锐化滤波需要先弄懂梯度、以及拉普拉斯算子，由于我已经在其他文章里介绍过了，所以在这里我不过多赘述，需要的朋友可以点开下面的连接……

[《梯度、散度与拉普拉斯算子》][Link 1]

### 文章目录 ###

*  锐化滤波器背后的数学知识
 *  锐化空间计算公式
 *  拉普拉斯算子与图像边界
 *  锐化滤波
 *  锐化滤波改进型
 *   *  改进方法一
     *  改进方法二

首先我们要理解一个概念，如果把一张图片的灰度信息当作平面的高度信息，那么当颜色出现变动的时候，就产生了类似梯度一样的概念。所以，在物体与背景之间，由于像素值的巨大变动，往往会出现巨大的梯度差。

锐化算法的本质，就是用数学的方法，调整这个梯度差，比如让这个梯度更为陡峭，于是从视觉上会起到细节增强的作用。而这与我们之前提到的像素变换，gamma变换是不一样的技术。

# 锐化滤波器背后的数学知识 #

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3BvaXNvbmNocnk_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center]  
假设我们有二次函数如上表示，它在某一点的斜率可以用其导数形式进行表示，既有：

d e r ( f ( x ) ) = f ( x + △ x ) − f ( x ) △ x der(f(x)) = \\frac\{ f(x+\\triangle x) - f(x) \}\{\\triangle x\} der(f(x))=△xf(x\+△x)−f(x)

由小学的数学概念可以得知，如果改变原函数的斜率，那么就可以使得原函数变得更为陡峭或者平缓。但是在一阶导数上进行调整，稍微有些困难，所以通常情况下我们会选择在二阶导数上进行调整。

为了验证这个理论，我们做一个简单的实验，假设原函数为 y = x 2 y=x^2 y=x2，它的图像在 x > 0 x>0 x>0侧表示为：

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3BvaXNvbmNocnk_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 1]  
其一阶导数为  d e r ( f ( x ) ) = 2 x der(f(x)) = 2x der(f(x))=2x，绘制出来的图像是这样的：

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3BvaXNvbmNocnk_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 2]

其二阶导数为  d e r ( d e r ( f ( x ) ) ) = 2 der(der(f(x))) = 2 der(der(f(x)))=2

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3BvaXNvbmNocnk_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 3]

我们给2阶导数乘一个大于1的数，比如1.5，那么原函数就变成了  f ( x ) = 3 2 x 2 + c x f(x) = \\frac\{3\}\{2\} x^2 + cx f(x)=23x2\+cx，令 c = 0 c=0 c=0，那么可以得到这样一个图像

y=1.5x^2  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3BvaXNvbmNocnk_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 4]

y=x^2  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3BvaXNvbmNocnk_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 5]  
可以发现原函数变得陡峭多了！

# 锐化空间计算公式 #

由于通过二阶导反推回原函数有一定难度，所以我们需要分析一下其差分形式，

▽ 2 f = ▽ f ( x + 1 ) − ▽ f ( x ) \\triangledown^2f = \\triangledown f(x+1) - \\triangledown f(x) ▽2f=▽f(x\+1)−▽f(x)

而

▽ f ( x ) = f ( x + 1 ) − f ( x ) \\triangledown f(x) = f(x+1) - f(x) ▽f(x)=f(x\+1)−f(x)

所以，就可以得到这样一个公式

f ( x ) = f ( x + 1 ) − ▽ f ( x ) f(x) = f(x+1) - \\triangledown f(x) f(x)=f(x\+1)−▽f(x)

则

f ( x ) = f ( x + 1 ) − ▽ f ( x ) + ▽ 2 f ( x ) f(x) = f(x + 1) - \\triangledown f(x) + \\triangledown^2 f(x) f(x)=f(x\+1)−▽f(x)\+▽2f(x)

那么，锐化后或者钝化后的实际图像 g ( x ) g(x) g(x)，也就是对  ▽ 2 f \\triangledown^2 f ▽2f 的乘积  k k k 就可以简单的变成这样的形式，

g ( x ) = f ( x + 1 ) − ▽ f ( x ) + k ▽ 2 f ( x ) g(x) = f(x + 1) - \\triangledown f(x) + k \\triangledown^2 f(x) g(x)=f(x\+1)−▽f(x)\+k▽2f(x)

在不考虑精确度的情况下，把中间的梯度值设为0后，就可以表示为以下表达式：

g ( x ) = f ( x ) + k ▽ 2 f ( x ) g(x) = f(x) + k \\triangledown^2 f(x) g(x)=f(x)\+k▽2f(x)

这个式子的含义，就是求解原图像的二阶导数后得到一个和原图大小一致的矩阵，然后乘以一个系数  k k k后，把修改后的值直接加回原始图像，即可以得到增强或钝化后的图形。

不过在具体实现这个算法前，我想先简单的探讨一下拉普拉斯算子的其他应用，因为这在我们其他应用中也会用到类似的技术。

# 拉普拉斯算子与图像边界 #

拉普拉斯算子，即二阶偏微分方程，根据二阶导在某些情况下所描述的数学定义，即在区间为  \[ a , b \] \[a, b\] \[a,b\] 时，为其函数值为正或者负，则原函数是递增或递减，为0则表示不变的特性。

可以知道在大块色块相似的区域内，拉普拉斯算子求解出的值应该为0或接近0的数，只有在色块出现大块颜色区分的时候，拉普拉斯算子才会计算出的大于0或者小于0的数，而这正好对应到图片中物体的边界。

而为了避免  < 0 <0 <0 的情况出现，以及无法正确显示边界信息，通常会选择使用它的绝对值信息。所以，如果我们实现一个拉普拉斯算子的程序如下，经过它处理后的图片就会出现这样有趣的效果：

def laplacian_kernel(image, i, j):
    
        kernel = np.array([[0, 1, 0],
                            [1, -4, 1],
                            [0, 1, 0]])
    
    	# 从原始图像中，根据ij所在位置，扣出一个3x3的小矩阵
        sub_img = image[i-1:i+2, j-1:j+2]
        result = kernel * sub_img
        return abs(np.sum(result))
    
    def laplacian_operator(image):
        width, height = image.shape
        backup = np.zeros(image.shape, np.uint8)
    
        for i in range(1, width - 1):
            for j in range(1, height - 1):
                backup[i][j] = laplacian_kernel(image, i, j)
    
        return backup

用numpy可以很大程度简化这个过程，如果用C或者其他语言，你可能需要一位一位的去计算。  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3BvaXNvbmNocnk_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 6]  
最终执行效果，我们如愿以偿的从原始图片中扣出了边界信息。

# 锐化滤波 #

根据我们之前得到的粗糙的锐化函数

g ( x ) = f ( x ) + k ▽ 2 f ( x ) g(x) = f(x) + k \\triangledown^2 f(x) g(x)=f(x)\+k▽2f(x)

可以知道锐化后的图像，为原始图像加上进过拉普拉斯处理后的信息乘以某个参数。所以拉普拉斯算子的代码我们可以改写成如下形式：

def laplacian_kernel(image, i, j, k):
    	# laplacian matrix
        kernel = np.array([[0, 1, 0],
                           [1, -4, 1],
                           [0, 1, 0]])
    
        # 从原始图像中，根据ij所在位置，扣出一个3x3的小矩阵
        sub_img = image[i - 1:i + 2, j - 1:j + 2]
        result = kernel * sub_img
        result = abs(np.sum(result)) * k
        return round(result)
    
    def laplacian_operator(image, k):
        width, height = image.shape
        backup = np.zeros(image.shape, np.uint8)
    
        for i in range(1, width - 1):
            for j in range(1, height - 1):
                res = laplacian_kernel_mod(image, i, j, k) + image[i][j]
    
                if res > 255:
                    res = 255
    
                backup[i][j] = res
    
        return backup

假如这个k值，如果我们设为2.5，就能得到非常明显的锐化效果了：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3BvaXNvbmNocnk_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 7]

# 锐化滤波改进型 #

锐化滤波有一个比较显著的缺点，就是会同时强化原始图像中的噪点。所以通常的一些改进形方法：

## 改进方法一 ##

一、先使用中值滤波，过滤原始图像中出现的噪点得到输出的图像 g ( x , y ) g(x,y) g(x,y)  
二、对  g ( x , y ) g(x,y) g(x,y) 使用拉普拉斯算子，计算它的梯度图像，得到  l a p ( x , y ) lap(x, y) lap(x,y)  
三、将得到的  l a p ( x , y ) lap(x,y) lap(x,y) 用于增强原始图像  f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)

## 改进方法二 ##

你会注意到，拉普拉斯算子的计算矩阵为

\[ 0 1 0 1 − 4 1 0 1 0 \] \\begin\{bmatrix\} 0 & 1 & 0 \\\\ 1 & -4 & 1 \\\\ 0 & 1 & 0 \\end\{bmatrix\} ⎣⎡0101−41010⎦⎤

其中一种改进型，使用如下计算矩阵：

\[ 1 1 1 1 − 8 1 1 1 1 \] \\begin\{bmatrix\} 1 & 1 & 1 \\\\ 1 & -8 & 1 \\\\ 1 & 1 & 1 \\end\{bmatrix\} ⎣⎡1111−81111⎦⎤

当然，除了这些方法外，还有其他一些改进方法，有兴趣你可以搜一下相关论文，尝试一下各种方法的效果，直到找到一种合适你使用场景的，这里我就不做过多的扩展了。

[Link 1]: https://seagochen.blog.csdn.net/article/details/114387703
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3BvaXNvbmNocnk_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center]: /images/20221023/b845a23e78084a929254f53d561b2778.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3BvaXNvbmNocnk_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 1]: /images/20221023/11f692a1c863450586e2bf6714d288a7.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3BvaXNvbmNocnk_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 2]: /images/20221023/aba7317c6afa4af8888854b6e99a9a36.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3BvaXNvbmNocnk_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 3]: /images/20221023/1098e51bc87c4506a31800da6c93f8e8.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3BvaXNvbmNocnk_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 4]: /images/20221023/b5e40b57b58544d7a637282ab09e28f9.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3BvaXNvbmNocnk_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 5]: /images/20221023/07e60b7acac84658958d6622518d5793.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3BvaXNvbmNocnk_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 6]: /images/20221023/255c046d57d543ff8174605d4b34ae7c.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3BvaXNvbmNocnk_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 7]: /images/20221023/a417b41b627b45e7b99724b18c082fdc.png