数学建模之求解微分方程和差分方程

怼烎@ 2022-10-15 04:56 224阅读 0赞

# 求微分方程的解 #

自牛顿发明微积分以来，微分方程在描述事物运动规律上已发挥了重要的作用。实际应用问题通过数学建模所得到的方程，绝大多数是微分方程。由于实际应用的需要，人们必须求解微分方程。然而能够求得解析解的微分方程十分有限，绝大多数微分方程需要利用数值方法来近似求解。下面介绍如何用 Matlab 来计算微分方程（组）的数值解。

## Euler折线法 ##

微分方程的基本数值解法——Euler折线法。

步骤：  
分割求解区间，差商代替微商，解代数方程

例子：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NDAzNzI3Mg_size_16_color_FFFFFF_t_70]解：

等距剖分： a = x 0 < x 1 < x 2 < ⋯ < x n − 1 < x n = b a=x\_0<x\_1<x\_2< \\cdots <x\_\{n-1\}<x\_n=b a=x0<x1<x2<⋯<xn−1<xn=b

步长： h = x k + 1 − x k = ( b − a ) / n , k = 0 , 1 , 2 , . . . , n − 1 h=x\_\{k+1\}-x\_k=(b-a)/n,k=0,1,2,...,n-1 h=xk\+1−xk=(b−a)/n,k=0,1,2,...,n−1

y ( x k + 1 ) ≈ y ( x k ) + h y ′ ( x k ) y(x\_\{k+1\})\\approx y(x\_k)+hy\\prime(x\_k) y(xk\+1)≈y(xk)\+hy′(xk)

取步长 h = (2 - 0)/n = 2/n，得差分方程  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NDAzNzI3Mg_size_16_color_FFFFFF_t_70 1]  
当 h=0.4，即 n=5 时，代码如下：

clear
    a=0;  b=2;
    h=0.4;
    n=(b-a)/h+1; 
    x(1)=0;  y(1)=1;
    for i=1:n-1        
        y(i+1)=y(i)+h*(y(i)+2*x(i)/y(i)^2);
        x(i+1)=x(i)+h;
    end
    y1=((5/3)*exp(3*x)-2*x-2/3).^(1/3);
    plot(x,y1,x,y);
    h = legend('解析解','Euler解');

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NDAzNzI3Mg_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center]

解得：  
 y = ( 5 3 e 3 x − 2 x − 2 3 ) 1 / 3 y=(\\frac\{5\}\{3\}e^\{3x\}-2x-\\frac\{2\}\{3\})^\{1/3\} y=(35e3x−2x−32)1/3

## Runge-Kutta方法 ##

龙格－库塔法（Runge-Kutta methods）是用于非线性常微分方程的解的重要的一类隐式或显式迭代法。

同样是上面的例子:  
![在这里插入图片描述][2021052320333076.png]  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NDAzNzI3Mg_size_16_color_FFFFFF_t_70 2]

clear;
    a=0; b=2; h=0.4;
    n=(b-a)/h+1; 
    x(1)=0; y(1)=1;  
    for i=1:n-1
        L1=y(i)+2*x(i)/y(i)^2;
        t=x(i)+h/2;t1=y(i)+h*L1/2;
        L2=t1+2*t/t1^2;t1=y(i)+h*L2/2;
        L3=t1+2*t/t1^2;t1=y(i)+h*L3/2;
        L4=t1+2*(x(i)+h)/t1^2;
        y(i+1)=y(i)+h*(L1+2*L2+2*L3+L4)/6; 
        x(i+1)=x(i)+h;
    end
    plot(x,y)

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NDAzNzI3Mg_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 1]

## MATLAB自带的ODE求解器 ##

ODE （常微分方程）

没有一种算法可以有效地解决所有的 ODE 问题，因此MATLAB 提供了多种ODE求解器，对于不同的ODE，可以调用不同的求解器。  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80NDAzNzI3Mg_size_16_color_FFFFFF_t_70 3]

> 基本语法  
> \[T,Y\] = solver(odefun,tspan,y0)

其中 y0 为初值条件，tspan为求解区间；Matlab在数值求解时自动对求解区间进行分割，T (向量) 中返回的是分割点的值(自变量)，Y (向量) 中返回的是解函数在这些分割点上的函数值。  
solver 为Matlab的ODE求解器（可以是 ode45、ode23、ode113、ode15s、ode23s、ode23t、ode23tb）

#  #

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上一篇：数学建模基础知识

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