计算机为什么要用补码? 程序员的自我修养课，了解下。

比眉伴天荒 2022-10-09 06:18 207阅读 0赞

只知道有这回事，但不清楚为啥要搞这回事。可以抽空了解下其所以原。

数年前写的这篇文章有介绍原码、反码、补码间关系[《java byte最大值最小值问题》][java byte]

## 一、为什么需要反码？ ##

反码即中间态，在计算机中不会独立存在，仅仅计算补码的过程量。不过可以便于我们理解数值运算过程。

反码的作用就相当于数学中的负数。即正反的关系，正数的反面就是负数。

对于小学生来说，会做的算术题是：5-3，但是不会做3-5。  
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于是，我们上初中的时候，数学里就引进了一个新的概念：负数。引入负数之后，本来是减法的运算就可以变成加法来实现：

3-5=3+[-5]=[-2]，中括号代表“负数”，“负数”就是我们人为给出的**数学术语**。

对于计算机来说，会做的算术题是：5+3，但是不会做3-5。于是，我们就在编码里引进了一个新的概念：反码。引入反码之后，本来是减法的运算就可以变成加法来实现：

3-5=3+[-5]=[-2]，中括号代表“反码”，“反码”就是我们人为给出的**计算机术语**。

这里，你一定有一个疑问：为什么计算机只会做5+3，不会做3-5。这是因为在计算机的数字电路中只有加法器，没有所谓的“减法器”。不是说计算机厂商不会设计减法器，因为聪明的人既然发明了方法能够用加法来实现减法操作，那为什么还需要**画蛇添足**的弄一个减法器？

接着说：那么反码要怎么定义才能实现减法变加法的功能呢？聪明的人想的办法如下：

> 1.正数的反码保持原码不变：3=\[0\_0000011\]  
> 2.负数除最高位（正负符号位）外，全部取反(0变1,1变0)：-5=1\_0000101取反=\[1\_1111010\]

于是3+\[-5\]=\[-2\]的计算过程为：

[0_0000011]+[1_1111010]=[1_11111101]

> 注意：这里并不是最终计算3+\[-5\]=\[-2\]的过程，仅仅为了说明问题，逐步呈现讲解。最终计算过程需要结合后文的补码理解。

这样，这种反码方法就成功实现了目标！其实有时候你会发现数学就是这么奇妙，这么一转换，就能得出所要的结果，至于为什么，我想只有数学家能给出解释了。

推荐大家有空看看以下两本书，介绍数学史：

*  《万物皆数》-（法）米卡埃尔洛奈，在复杂的研究对象与简洁的表达式之间建立令人目眩神迷的联系；
 *  《这才是最好读的数学史》-（美）比尔柏林霍夫。

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## 二、为什么需要补码？ ##

都是因为“0”这个特殊数字的存在。

先问你一个问题:0是正数还是负数？你肯定会说：0既不是正数也不是负数，这是我们初中学到的数学知识。这个回答没有问题，所以以后每次碰到0，人们都不会把它当正数或负数。

在高中学数学时，求阶乘会碰到趋近±0的问题，如有表达错误请自行回顾这块知识。

那么计算机呢？计算机不同于人脑，即不会判断模棱两可的事务，通俗点讲在计算机世界里即非黑即白。计算机在碰到任何数字之前只根据最高位的符号位来判断正负性，“0”表示正数,“1”表示负数。

前面我们推论了为何要用反码，那么用8位二进制反码表示为:

> 正数范围：+0 —— +127；  
> 负数范围： -127 —— -0。

但是，其中有两个特殊的编码会出现：

> \[0\_0000000\]=+0 （反码）  
> \[1\_1111111\]=-0 （反码）

其实，+0和-0代表的都是0。这样一来，“0”这个数字在计算机中的编码就不是唯一的了。对于计算机来说，这是绝对不行的，因为任何数字都只能有1个编码。

于是，聪明的人就做了这样一个决定：把0当成正数，也即+0，这样0的编码就变成：0\_0000000。那8位二进制表示的正数范围仍然是：

> \+0 —— +127。

但是，对于负数就必须要做调整，也即-0必须要让位—1\_1111111这个编码不能表示-0。我们可以把负数整体向后“挪动1位”：只要将8位二进制表示的负数范围从：-127 —— -0变成：-128 —— -1，就能成功解决问题。

> \-128 —— -1

那么怎么整体挪动1位呢？方法就是反码+1。\{1\_1111111\}编码就不再表示-0，而变成了-1。顺着推，最小的编码\{1\_0000000\}就是-128。

我们给这个反码+1又人为的取了一个新的名字，叫补码。于是乎，补码的定义如下：

> 1.正数的补码保持原码不变：3=\{0\_0000011\}  
> 2.负数先求反码，然后再加1：-5=\[1\_1111010\]+1=\{1\_1111011\}

于是3+\{-5\}=\{-2\}的计算过程为：

{0_0000011}+{1_1111011}={11111110}

至此，通过补码就成功解决了数字0在计算机中非唯一编码的问题，且也能实现减法变加法。

所以，在计算机的世界里，0是正数。这点和我们学的数学不一样。

{0_1111111}=+127 （补码）
    {0_0000000}=+0   （补码）
    {1_1111111}=-1   （补码）
    {1_0000000}=-128 （补码）

所以，从上面的过程可以清楚的看到计算机最重要的就是：“反码+1”，反码+1就叫补码。有了补码，计算机才能实现负号“-”的操作，而这个操作是其实就是取相反数的含义。计算机内部数值预算均是补码形式运算。

正是有了取相反数的概念，因此在汇编程序中有这样一条指令：NEG。这个指令就是取相反数，也等同于对数做一个求补（反码+1）的操作。

补码这个取相反数的机制，给计算机带来的好处太多了。它除了使计算机不用区分加减法以外，在加、减运算的时候，硬件层面上还可以不用区分正负数（符号位没有特殊处理）。

如对于某一个编码：0xF0，当它存储在内存中的时候，如果是无符号数，应等于240；如果是有符号数，应等于-16。那它究竟是代表哪个数呢？

计算机在硬件层面并不需要知道它代表的是240还是-16，因为它是正是负都不影响和别的任何数字做加减操作。比如在与数字2的编码值0x02相加之后，编码值是0xF2，那这个编码值就可以代表是242或-14。那这个0xF0最终究竟代表的是哪个数字呢？

这是编程者需要处理的事情，比如你在C语言中应当把它定义成signed与否。下面，我们必须要举例来说明这个过程：假如你是把等于-16的变量定义成signed char类型的，当我们的程序中需要应用这个变量的时候，比如printf(%d),C语言标准库里的printf函数首先会从内存里取出变量的值:0xF0，由于变量是有符号类型，它首先根据0xF0符号位是1来判断是一个负数，第一步就将生成一个"-“号放在一个临时字符串的首位。剩下的事情就是将0xF0这个编码转化成10进制对应的数字字符串"16”，关键问题是printf怎么来实现这个转换呢？

signed char d = -16;
    printf(%d);

通过前面的推论，得知：**负数是正数的补码，正数是负数的补码，它们互为相反数**。

现在，我们要求正数的编码，当然只需要在负数补码的基础上去一次相反数即可，因此对0xF0取相反数就会是如下过程：

0xF0取相反数=1111_0000取相反数=11110000反码+1=00001111+1=0001_0000=16D

虽然得到了16这个数值，但是它和字符串"16"是两回事。

printf最终是要把"-"号和"16"相连接组成这个变量完整的字符串才行。那数字16又怎么转化成字符串"16"呢？

方法是我们要在10进制数据中需要逐位获取：

*  先取出最高位数字1，然后把1转化成字符“1”；
 *  再取最低位数字6，把6转化成字符“6”。

由于每个数字x与它们对应字符的ASCII码值关系1是：ASCII码=48+ x。因此，我们将取得的数字加上1+48=49,6+48=54,那么就得到了两个字符"1"和"6"。不要问为什么这么神奇，通过48+ x就能对应上控制符！

printf把字符"1"和"6"依次连接在字符"-“后面，就得到了最终完整的字符串:”-16"。最后printf再调用操作系统字符串显示API，才能完整的在屏幕上显示出"-16"！

通过这个案例，可以看出计算机底层编码的处理过程，其实很复杂，只是高级语言比如java等，屏蔽掉计算机底层很多的处理细节。

接着上面这个0xF0，我们再扯远点。甚至于硬件层面都不知道0xF0代表的是一个数字（数据）呢，还是一条机器指令？

那也是编程者需要关心和设计的事情：

*  当程序在内存里运行到这个0xF0存储位置的时候，它代表的就应该是一条机器指令；
 *  当程序需要从内存里取出这个0xF0值的时候，它代表的就应该是一个数字（数据）。

继续扯回来。虽然计算机硬件层面上加、减运算的时候，可以不用区分正数、负数，但是在乘除法的时候就不行了。比如现在有一个被除数编码:0x01E0,一个除数编码：

0xF0   -- 240或者-16
    0x01E0 --480。
    
    480/240=2
    480/-16=-30

2的十六进制编码是0x02,而-30的编码是0xE2，显然这两个编码不能统一（因为符号位参与了计算过程），因此你在做乘除法之前，就必须在硬件层面指定0xF0代表的是正数240还是负数-16。正因为如此，汇编程序在做乘除法的时候，必须要指定是无符号乘除还是有符号乘除：

*  无符号除法用指令:DIV
 *  有符号除法用指令:IDIV

## 四、汇编指令2 ##

*  neg: 取相反数（补码）
 *  not: 二进制操作数安位取反（反码）

[汇编语言入门教程-http://www.ruanyifeng.com/blog/2018/01/assembly-language-primer.html][-http_www.ruanyifeng.com_blog_2018_01_assembly-language-primer.html]

## 五、又想扯远 ##

吴军博士的数学之美系列书，很棒，将复杂的数学公式讲得栩栩如生，便于理解。

数学公式将现实世界量化，不过理解需要费点脑子，通过形象说明让咱理解一个个公式，举手点赞。

## 六、总结最终 ##

计算机数字的3种编码—原码、反码和补码，我们用一句话来总结如下：

*  原码：是对自然正数(包括0)的二进制编码，正数在计算机中直接用原码进行存储。
 *  反码：可以理解为是求补码的中间过程，反码=原码逐位取反。计算机并不存储反码。
 *  补码：计算机求相反数的编码，补码=反码+1。负数在计算机中使用补码进行存储。但是，归根到底，我们可以说计算机是用补码进行存储的。

为什么？因为原码=对应相反数的补码，实际上也是补码，只不过是负数的补码。

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1.  [ASCII码对照表-https://tool.oschina.net/commons?type=4][ASCII_-https_tool.oschina.net_commons_type_4]  
    ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2xvb25nc2hhd24_size_16_color_FFFFFF_t_70 2] ↩︎
2.  [汇编指令-https://baike.baidu.com/item/%E6%B1%87%E7%BC%96%E6%8C%87%E4%BB%A4][-https_baike.baidu.com_item_E6_B1_87_E7_BC_96_E6_8C_87_E4_BB_A4] ↩︎

[java byte]: https://blog.csdn.net/loongshawn/article/details/81266500#commentBox
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2xvb25nc2hhd24_size_16_color_FFFFFF_t_70]: /images/20221005/45db1243f8434d9f8f5800c8446c9ffd.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2xvb25nc2hhd24_size_16_color_FFFFFF_t_70 1]: /images/20221005/66b0e6b315d1405c8f14fa438f665fe0.png
[-http_www.ruanyifeng.com_blog_2018_01_assembly-language-primer.html]: http://www.ruanyifeng.com/blog/2018/01/assembly-language-primer.html
[ASCII_-https_tool.oschina.net_commons_type_4]: https://tool.oschina.net/commons?type=4
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