数据结构之二叉堆

待我称王封你为后i 2022-09-21 05:46 192阅读 0赞

**二叉堆的介绍**

二叉堆是完全二元树或者是近似完全二元树，按照数据的排列方式可以分为两种：最大堆和最小堆。

*  最大堆：父结点的键值总是大于或等于任何一个子节点的键值；
 *  最小堆：父结点的键值总是小于或等于任何一个子节点的键值。

示意图如下：

![182339209436216.jpg][]

二叉堆一般都通过”数组”来实现。数组实现的二叉堆，父节点和子节点的位置存在一定的关系。有时候，我们将”二叉堆的第一个元素”放在数组索引0的位置，有时候放在1的位置。当然，它们的本质一样(都是二叉堆)，只是实现上稍微有一丁点区别。  
假设”第一个元素”在数组中的索引为 0 的话，则父节点和子节点的位置关系如下：  
(01) 索引为i的左孩子的索引是 (2\*i+1);  
(02) 索引为i的左孩子的索引是 (2\*i+2);  
(03) 索引为i的父结点的索引是 floor((i-1)/2);

![182342224903953.jpg][]

### 实现 ###

以最大堆为例

template <class T>
    class MaxHeap{
        private:
            T *mHeap;        // 数据
            int mCapacity;    // 总的容量
            int mSize;        // 实际容量
    
        private:
            // 最大堆的向下调整算法
            void filterdown(int start, int end);
            // 最大堆的向上调整算法(从start开始向上直到0，调整堆)
            void filterup(int start);
        public:
            MaxHeap();
            MaxHeap(int capacity);
            ~MaxHeap();
    
            // 返回data在二叉堆中的索引
            int getIndex(T data);
            // 删除最大堆中的data
            int remove(T data);
            // 将data插入到二叉堆中
            int insert(T data);
            // 打印二叉堆
            void print();
    };

**添加**

假设在最大堆\[90,80,70,60,40,30,20,10,50\]种添加85，需要执行的步骤如下

![182345301461858.jpg][]

如上图所示，当向最大堆中添加数据时：先将数据加入到最大堆的最后，然后尽可能把这个元素往上挪，直到挪不动为止！  
将85添加到\[90,80,70,60,40,30,20,10,50\]中后，最大堆变成了\[90,85,70,60,80,30,20,10,50,40\]。

/*
     * 最大堆的向上调整算法(从start开始向上直到0，调整堆)
     *
     * 注：数组实现的堆中，第N个节点的左孩子的索引值是(2N+1)，右孩子的索引是(2N+2)。
     *
     * 参数说明：
     *     start -- 被上调节点的起始位置(一般为数组中最后一个元素的索引)
     */
    template <class T>
    void MaxHeap<T>::filterup(int start)
    {
        int c = start;            // 当前节点(current)的位置
        int p = (c-1)/2;        // 父(parent)结点的位置 
        T tmp = mHeap[c];        // 当前节点(current)的大小
    
        while(c > 0)
        {
            if(mHeap[p] >= tmp)
                break;
            else
            {
                mHeap[c] = mHeap[p];
                c = p;
                p = (p-1)/2;   
            }       
        }
        mHeap[c] = tmp;
    }
    
    /* 
     * 将data插入到二叉堆中
     *
     * 返回值：
     *     0，表示成功
     *    -1，表示失败
     */
    template <class T>
    int MaxHeap<T>::insert(T data)
    {
        // 如果"堆"已满，则返回
        if(mSize == mCapacity)
            return -1;
    
        mHeap[mSize] = data;        // 将"数组"插在表尾
        filterup(mSize);    // 向上调整堆
        mSize++;                    // 堆的实际容量+1
    
        return 0;
    }

**删除**

假设从最大堆\[90,85,70,60,80,30,20,10,50,40\]中删除90，需要执行的步骤如下：

![182348387716132.jpg][]

/* 
     * 最大堆的向下调整算法
     *
     * 注：数组实现的堆中，第N个节点的左孩子的索引值是(2N+1)，右孩子的索引是(2N+2)。
     *
     * 参数说明：
     *     start -- 被下调节点的起始位置(一般为0，表示从第1个开始)
     *     end   -- 截至范围(一般为数组中最后一个元素的索引)
     */
    template <class T>
    void MaxHeap<T>::filterdown(int start, int end)
    {
        int c = start;          // 当前(current)节点的位置
        int l = 2*c + 1;     // 左(left)孩子的位置
        T tmp = mHeap[c];    // 当前(current)节点的大小
    
        while(l <= end)
        {
            // "l"是左孩子，"l+1"是右孩子
            if(l < end && mHeap[l] < mHeap[l+1])
                l++;        // 左右两孩子中选择较大者，即mHeap[l+1]
            if(tmp >= mHeap[l])
                break;        //调整结束
            else
            {
                mHeap[c] = mHeap[l];
                c = l;
                l = 2*l + 1;   
            }       
        }   
        mHeap[c] = tmp;
    }
    
    /*
     * 删除最大堆中的data
     *
     * 返回值：
     *      0，成功
     *     -1，失败
     */
    template <class T>
    int MaxHeap<T>::remove(T data)
    {
        int index;
        // 如果"堆"已空，则返回-1
        if(mSize == 0)
            return -1;
    
        // 获取data在数组中的索引
        index = getIndex(data); 
        if (index==-1)
            return -1;
    
        mHeap[index] = mHeap[--mSize];    // 用最后元素填补
        filterdown(index, mSize-1);        // 从index位置开始自上向下调整为最大堆
    
        return 0;
    }

**二叉堆的C++实现(完整源码)**

/**
     * 二叉堆(最大堆)
     *
     * @author skywang
     * @date 2014/03/07
     */
    
    #include <iomanip>
    #include <iostream>
    using namespace std;
    
    template <class T>
    class MaxHeap{
        private:
            T *mHeap;        // 数据
            int mCapacity;    // 总的容量
            int mSize;        // 实际容量
    
        private:
            // 最大堆的向下调整算法
            void filterdown(int start, int end);
            // 最大堆的向上调整算法(从start开始向上直到0，调整堆)
            void filterup(int start);
        public:
            MaxHeap();
            MaxHeap(int capacity);
            ~MaxHeap();
    
            // 返回data在二叉堆中的索引
            int getIndex(T data);
            // 删除最大堆中的data
            int remove(T data);
            // 将data插入到二叉堆中
            int insert(T data);
            // 打印二叉堆
            void print();
    };
    
    /* 
     * 构造函数
     */
    template <class T>
    MaxHeap<T>::MaxHeap()
    {
        new (this)MaxHeap(30);
    }
    
    template <class T>
    MaxHeap<T>::MaxHeap(int capacity)
    {
        mSize = 0;
        mCapacity = capacity;
        mHeap = new T[mCapacity];
    }
    /* 
     * 析构函数
     */
    template <class T>
    MaxHeap<T>::~MaxHeap() 
    {
        mSize = 0;
        mCapacity = 0;
        delete[] mHeap;
    }
    
    /* 
     * 返回data在二叉堆中的索引
     *
     * 返回值：
     *     存在 -- 返回data在数组中的索引
     *     不存在 -- -1
     */
    template <class T>
    int MaxHeap<T>::getIndex(T data)
    {
        for(int i=0; i<mSize; i++)
            if (data==mHeap[i])
                return i;
    
        return -1;
    }
    
    /* 
     * 最大堆的向下调整算法
     *
     * 注：数组实现的堆中，第N个节点的左孩子的索引值是(2N+1)，右孩子的索引是(2N+2)。
     *
     * 参数说明：
     *     start -- 被下调节点的起始位置(一般为0，表示从第1个开始)
     *     end   -- 截至范围(一般为数组中最后一个元素的索引)
     */
    template <class T>
    void MaxHeap<T>::filterdown(int start, int end)
    {
        int c = start;          // 当前(current)节点的位置
        int l = 2*c + 1;     // 左(left)孩子的位置
        T tmp = mHeap[c];    // 当前(current)节点的大小
    
        while(l <= end)
        {
            // "l"是左孩子，"l+1"是右孩子
            if(l < end && mHeap[l] < mHeap[l+1])
                l++;        // 左右两孩子中选择较大者，即mHeap[l+1]
            if(tmp >= mHeap[l])
                break;        //调整结束
            else
            {
                mHeap[c] = mHeap[l];
                c = l;
                l = 2*l + 1;   
            }       
        }   
        mHeap[c] = tmp;
    }
    
    /*
     * 删除最大堆中的data
     *
     * 返回值：
     *      0，成功
     *     -1，失败
     */
    template <class T>
    int MaxHeap<T>::remove(T data)
    {
        int index;
        // 如果"堆"已空，则返回-1
        if(mSize == 0)
            return -1;
    
        // 获取data在数组中的索引
        index = getIndex(data); 
        if (index==-1)
            return -1;
    
        mHeap[index] = mHeap[--mSize];    // 用最后元素填补
        filterdown(index, mSize-1);        // 从index位置开始自上向下调整为最大堆
    
        return 0;
    }
    
    /*
     * 最大堆的向上调整算法(从start开始向上直到0，调整堆)
     *
     * 注：数组实现的堆中，第N个节点的左孩子的索引值是(2N+1)，右孩子的索引是(2N+2)。
     *
     * 参数说明：
     *     start -- 被上调节点的起始位置(一般为数组中最后一个元素的索引)
     */
    template <class T>
    void MaxHeap<T>::filterup(int start)
    {
        int c = start;            // 当前节点(current)的位置
        int p = (c-1)/2;        // 父(parent)结点的位置 
        T tmp = mHeap[c];        // 当前节点(current)的大小
    
        while(c > 0)
        {
            if(mHeap[p] >= tmp)
                break;
            else
            {
                mHeap[c] = mHeap[p];
                c = p;
                p = (p-1)/2;   
            }       
        }
        mHeap[c] = tmp;
    }
    
    /* 
     * 将data插入到二叉堆中
     *
     * 返回值：
     *     0，表示成功
     *    -1，表示失败
     */
    template <class T>
    int MaxHeap<T>::insert(T data)
    {
        // 如果"堆"已满，则返回
        if(mSize == mCapacity)
            return -1;
    
        mHeap[mSize] = data;        // 将"数组"插在表尾
        filterup(mSize);    // 向上调整堆
        mSize++;                    // 堆的实际容量+1
    
        return 0;
    }
    
    /* 
     * 打印二叉堆
     *
     * 返回值：
     *     0，表示成功
     *    -1，表示失败
     */
    template <class T>
    void MaxHeap<T>::print()
    {
        for (int i=0; i<mSize; i++)
            cout << mHeap[i] << " ";
    }
    
    int main()
    {
        int a[] = {
       10, 40, 30, 60, 90, 70, 20, 50, 80};
        int i, len=(sizeof(a)) / (sizeof(a[0])) ;
        MaxHeap<int>* tree=new MaxHeap<int>();
    
        cout << "== 依次添加: ";
        for(i=0; i<len; i++)
        {
            cout << a[i] <<" ";
            tree->insert(a[i]);
        }
    
        cout << "\n== 最 大 堆: ";
        tree->print();
    
        i=85;
        tree->insert(i);
        cout << "\n== 添加元素: " << i;
        cout << "\n== 最 大 堆: ";
        tree->print();
    
        i=90;
        tree->remove(i);
        cout << "\n== 删除元素: " << i;
        cout << "\n== 最 大 堆: ";
        tree->print();
        cout << endl; 
        system("pause");
        return 0;
    }

**效果如下**

![这里写图片描述][20160616211152722]

[182339209436216.jpg]: /images/20220721/42ba044c14a14be1a497768b0beb1c04.png
[182342224903953.jpg]: /images/20220721/176a017517984d88866ee40b82d4ce4c.png
[182345301461858.jpg]: /images/20220721/268767906d4242aca0ea893e5582a17d.png
[182348387716132.jpg]: /images/20220721/5dfc289d55ba486081cf19a3ec171c39.png
[20160616211152722]: /images/20220721/4bfb6b8266f445869fa5d03294639664.png