RMQ的ST算法学习小记 Poj 3264 Balanced Lineup

末蓝、 2022-09-19 15:24 170阅读 0赞

RMQ (Range Minimum/Maximum Query)问题是指：对于长度为n的数列A，回答若干询问RMQ(A,i,j)(i,j<=n)，返回数列A中下标在\[i,j\]里的最小(大）值，也就是说，RMQ问题是指求区间最值的问题。

主要方法及复杂度(处理复杂度和查询复杂度)如下:  
1.线段树(segment tree) O(nlogn)-O(qlogn)  
2.ST（实质是动态规划） O(nlogn)-O(1)  
3.RMQ标准算法：先规约成LCA（Lowest Common Ancestor），再规约成约束RMQ，O(n)-O(1)

以上摘自：http://blog.sina.com.cn/s/blog\_7223fd910100xmmp.html

以下分析摘自：http://www.360doc.com/content/12/0628/03/835042\_220876156.shtml

ST算法：一种在线算法。所谓在线算法，是指用户每输入一个查询便马上处理一个查询。该算法一般用较长的时间做预处理，待信息充足以后便可以用较少的时间回答每个查询。ST（Sparse Table）算法是一个非常有名的在线处理RMQ问题的算法，它可以在O(nlogn)时间内进行预处理，然后在O(1)时间内回答每个查询。

首先是预处理，用动态规划（DP）解决。设A\[i\]是要求区间最值的数列，F\[i, j\]表示从第i个数起连续2^j个数中的最大值。例如数列3 2 4 5 6 8 1 2 9 7，F\[1，0\]表示第1个数起，长度为2^0=1的最大值，其实就是3这个数。 F\[1，2\]=5，F\[1，3\]=8，F\[2，0\]=2，F\[2，1\]=4……从这里可以看出F\[i,0\]其实就等于A\[i\]。这样，DP的状态、初值都已经有了，剩下的就是状态转移方程。我们把F\[i，j\]平均分成两段（因为f\[i，j\]一定是偶数个数字），从i到i+2^(j-1)-1为一段，i+2^(j-1)到i+2^j-1为一段(长度都为2^（j-1）)。用上例说明，当i=1，j=3时就是3,2,4,5 和 6,8,1,2这两段。F\[i，j\]就是这两段的最大值中的最大值。于是我们得到了动态规划方程F\[i, j\]=max（F\[i，j-1\], F\[i + 2^(j-1)，j-1\]）。

然后是查询。取k=\[log2(j-i+1)\]，则有：RMQ(A, i, j)=min\{F\[i,k\],F\[j-2^k+1,k\]\}。 举例说明，要求区间\[2，8\]的最大值，就要把它分成\[2,5\]和\[5,8\]两个区间，因为这两个区间的最大值我们可以直接由f\[2，2\]和f\[5，2\]得到。

#include <cstdio>
    #include <cmath>
    #include <cstring>
    #define max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))
    #define min(a,b) ((a)<(b)?(a):(b))
    
    const int N = 50005;
    
    int data[N],n;
    int dpmin[N][20],dpmax[N][20];
    
    void Deal ()
    {
        int i,j;
        for (i=1;i<=n;i++)
        {
            dpmin[i][0]=data[i];
            dpmax[i][0]=data[i];
        }
        for (j=1; j<=log((double)(n+1))/log(2.0) ;j++)
            for (i=1; i+(1<<j)-1<=n ;i++)
            {
                dpmin[i][j]=min( dpmin[i][j-1],dpmin[i+(1<<(j-1))][j-1] );
                dpmax[i][j]=max( dpmax[i][j-1],dpmax[i+(1<<(j-1))][j-1] );
            }
    }
    
    int Get (int a,int b)
    {
        int k = log(1.0*(b-a+1))/log(2.0);
        int up=max( dpmax[a][k] , dpmax[b-(1<<k)+1][k] );
        int down=min( dpmin[a][k] , dpmin[b-(1<<k)+1][k] );
        return up-down;
    }
    
    int main ()
    {
        int a,b,m;
        scanf("%d%d",&n,&m);
        for (int i=1;i<=n;i++)
            scanf("%d",&data[i]);
        memset(dpmin,0,sizeof(dpmin));
        memset(dpmax,0,sizeof(dpmax));
        Deal ();
        while (m--)
        {
            scanf("%d%d",&a,&b);
            printf("%d\n",Get(a,b));
        }
        return 0;
    }