网络流之最大流算法（EdmondsKarp）

朱雀 2022-08-25 14:45 263阅读 0赞

求网络流有很多算法，这几天学习了两种，记录一下EK算法。

首先是网络流中的一些定义：

V表示整个图中的所有结点的集合.  
E表示整个图中所有边的集合.  
G = (V,E) ,表示整个图.  
s表示网络的源点,t表示网络的汇点.  
对于每条边(u,v),有一个容量c(u,v) (c(u,v)>=0)，如果c(u,v)=0，则表示(u,v)不存在在网络中。相反，如果原网络中不存在边(u,v)，则令c(u,v)=0.  
对于每条边(u,v),有一个流量f(u,v).

一个简单的例子.网络可以被想象成一些输水的管道.括号内右边的数字表示管道的容量c,左边的数字表示这条管道的当前流量f.

![SouthEast][]

网络流的三个性质：

1、容量限制: f\[u,v\]<=c\[u,v\]  
2、反对称性：f\[u,v\] = - f\[v,u\]  
3、流量平衡: 对于不是源点也不是汇点的任意结点,流入该结点的流量和等于流出该结点的流量和。  
只要满足这三个性质,就是一个合法的网络流.

最大流问题，就是求在满足网络流性质的情况下，源点 s 到汇点 t 的最大流量。

求一个网络流的最大流有很多算法 这里首先介绍 增广路算法（EK）

学习算法之前首先看了解这个算法中涉及到的几个图中的定义：

\*\*残量网络

为了更方便算法的实现，一般根据原网络定义一个残量网络。其中r(u,v)为残量网络的容量。  
r(u,v) = c(u,v) – f(u,v)  
通俗地讲：就是对于某一条边（也称弧），还能再有多少流量经过。  
Gf 残量网络,Ef 表示残量网络的边集.

![SouthEast 1][]

这是上面图的一个残量网络。残量网络（如果网络中一条边的容量为0,则认为这条边不在残量网络中。

r(s,v1)=0,所以就不画出来了。另外举个例子：r(v1,s) = c(v1,s) – f(v1,s) = 0 – (-f(s,v1)) = f(s,v1) = 4.

其中像(v1,s)这样的边称为后向弧,它表示从v1到s还可以增加4单位的流量。

但是从v1到s不是和原网络中的弧的方向相反吗？显然“从v1到s还可以增加4单位流量”这条信息毫无意义。那么，有必要建立这些后向弧吗？

显然，第1个图中的画出来的不是一个最大流。

但是，如果我们把s -> v2 -> v1 -> t这条路径经过的弧的流量都增加2,就得到了该网络的最大流。

注意到这条路径经过了一条后向弧:(v2,v1)。

如果不设立后向弧，算法就不能发现这条路径。

\*\*从本质上说，后向弧为算法纠正自己所犯的错误提供了可能性，它允许算法取消先前的错误的行为（让2单位的流从v1流到v2)  
  
注意,后向弧只是概念上的,在程序中后向弧与前向弧并无区别.

\*\*增广路

增广路定义：在残量网络中的一条从s通往t的路径，其中任意一条弧(u,v)，都有r\[u,v\]>0。

![SouthEast 2][]  
如图绿色的即为一条增广路。

看了这么多概念相信大家对增广路算法已经有大概的思路了吧。

\*\*增广路算法

增广路算法：每次用BFS找一条最短的增广路径，然后沿着这条路径修改流量值（实际修改的是残量网络的边权）。当没有增广路时，算法停止，此时的流就是最大流。

\*\*增广路算法的效率

设n = |V|, m = |E|

每次增广都是一次BFS,效率为O(m),而在最坏的情况下需要（n-2增广。（即除源点和汇点外其他点都没有连通，所有点都只和s与t连通）

所以,总共的时间复杂度为O(m\*n)，所以在稀疏图中效率还是比较高的。

hdoj 1532是一道可以作为模板题目练手。

模板代码：

#include <cstdio>
    #include <cstring>
    #include <iostream>
    #include <string>
    #include <algorithm>
    #include <map>
    #include <vector>
    using namespace std;
    const int N = 1100;
    const int INF = 0x3f3f3f3f;
    
    struct Node
    {
        int to;//终点
        int cap; //容量
        int rev;  //反向边
    };
    
    vector<Node> v[N];
    bool used[N];
    
    void add_Node(int from,int to,int cap)  //重边情况不影响
    {
        v[from].push_back((Node){to,cap,v[to].size()});
        v[to].push_back((Node){from,0,v[from].size()-1});
    }
    
    int dfs(int s,int t,int f)
    {
        if(s==t)
            return f;
        used[s]=true;
        for(int i=0;i<v[s].size();i++)
        {
            Node &tmp = v[s][i];  //注意
            if(used[tmp.to]==false && tmp.cap>0)
            {
                int d=dfs(tmp.to,t,min(f,tmp.cap));
                if(d>0)
                {
                    tmp.cap-=d;
                    v[tmp.to][tmp.rev].cap+=d;
                    return d;
                }
            }
        }
        return 0;
    }
    
    int max_flow(int s,int t)
    {
        int flow=0;
        for(;;){
            memset(used,false,sizeof(used));
            int f=dfs(s,t,INF);
            if(f==0)
                return flow;
            flow+=f;
        }
    }
    int main()
    {
        int n,m;
        while(~scanf("%d%d",&n,&m))
        {
            memset(v,0,sizeof(v));
            for(int i=0;i<n;i++)
            {
                int x,y,z;
                scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
                add_Node(x,y,z);
            }
            printf("%d\n",max_flow(1,m));
        }
    }

[SouthEast]: /images/20220824/25e28871f03943ee958441f73221f957.png
[SouthEast 1]: /images/20220824/abebba843dd843248445358d87d63077.png
[SouthEast 2]: /images/20220824/53d210a230854a6ba04d92bcb4aa4d96.png