理解矩阵及谱聚类小记

太过爱你忘了你带给我的痛 2022-08-06 02:25 162阅读 0赞

最近看了一些矩阵和谱聚类的知识，特在此简单记录一下。详细可以先看下参考文献。

首先看到的是孟岩写的三篇<理解矩阵>.

**一：理解矩阵(一)**

1:传统书籍空间的定义：存在一个集合，在这个集合上定义某某概念，然后满足某些性质”，就可以被称为空间。孟的空间包含四点：(1). 由很多（实际上是无穷多个）位置点组成；(2). 这些点之间存在相对的关系；(3). 可以在空间中定义长度、角度；4.这个空间可以容纳运动，这里我们所说的运动是从一个点到另一个点的移动（变换），而不是微积分意义上的“连续”性的运动。其中第四点最为重要，容纳运动时空间的本质。

2：“空间”是容纳运动的一个对象集合，而变换则规定了对应空间的运动。

3：线性空间中的任何一个对象，通过选取基和坐标的办法，都可以表达为向量的形式。

4：在线性空间中，当你选定一组基之后，不仅可以用一个向量来描述空间中的任何一个对象，而且可以用矩阵来描述该空间中的任何一个运动（变换）。而使某个对象发生对应运动的方法，就是用代表那个运动的矩阵，乘以代表那个对象的向量。矩阵的本质是运动的描述。

**二：理解矩阵(二)**

1：所谓变换，其实就是空间里从一个点（元素/对象）到另一个点（元素/对象）的跃迁。矩阵是线性空间里的变换的描述

2：对于一个线性变换，只要你选定一组基，那么就可以找到一个矩阵来描述这个线性变换。换一组基，就得到一个不同的矩阵。所有这些矩阵都是这同一个线性变换的描述，但又都不是线性变换本身。

3：所谓相似矩阵，就是同一个线性变换的不同的描述矩阵。如同对同一对象的多个引用。

**三：理解矩阵(三)**

1：对象的变换等价于坐标系的变换。或者说：固定坐标系下一个对象的变换等价于固定对象所处的坐标系变换。

三篇矩阵系列让我们从直觉上再度理解了矩阵，形象深刻。第一篇可以说是初谈空间与矩阵；第二篇相当于矩阵再描述；第三篇则为矩阵等价于坐标系。

**四：谱聚类**

在谈及谱聚类的问题时，首先需要回顾一些数学知识。

1:正交矩阵。ATA=E，则A为正交矩阵。也就是A的行或者列向量为两两垂直的单位向量

2：正定矩阵。如果对于任意向量f，都有fTMf> 0， 则称M为正定矩阵。如果为大于等于0，则为半正定矩阵。

3：拉普拉斯矩阵：Laplace矩阵为图的度矩阵-图的邻近矩阵。它也是谱理论的基础。

其中：

![Center][]

定义：

方阵的谱： 方阵作为线性算子，它的所有特征值的集合成为方阵的谱。

矩阵的 谱半径：矩阵和其共轭转置乘积的最大特征值。

谱聚类：是一种基于图论的聚类方法，通过对样本数据的 拉普拉斯矩阵的 特征向量进行聚类，从而达到对样本数据聚类的目的。

3：谱聚类最初用于解决图的分割为题，图分割的目的是类间相似性最小，类内相似性最大。它是一个NP难解问题，它可以转换为最小化图的Laplace矩阵的特征值的问题，这个可以通过公式进行证明。如果分两类的话，此时最小的特征值所对应的特征向量中大于0的归属于一类，小于0的归属于另一类，就可以将图分割成为两部分了。

如果进行k分类，则需要得到k个最小的特征值所对应的特征向量(N×k)，每列为一个特征向量，每行代表一个样本点，此时对它进行k-means聚类，就可以将N个点聚成k类了。

4：谱聚类用于实际样本空间，只需将每个样本看做图的一个顶点，再将样本点的距离通过高斯核函数(径向基核函数)映射为相似性，每个点与其它点相似和为度就可以进行谱聚类了。

5：优点：(1)谱聚类能在任意形状的样本空间上进行聚类，且收敛于全局最优点。而像k-means算法和EM算法是建立在凸球形的样本空间上，当样本空间不凸时，算法会陷入“局部”最优。

(2) 谱聚类只需要数据之间的相似度矩阵就可以了，而不必像K-means那样要求数据必须是 N 维欧氏空间中的向量。

(3)RatioCut方法只考虑了类间相似性最小，而normalizedCut不仅考虑了类间还考虑了类内的相似性。

**五：谱哈希**

待续.....

参考文献：

1：理解矩阵(一)[http://blog.csdn.net/myan/article/details/647511][http_blog.csdn.net_myan_article_details_647511]

2：理解矩阵(二) [ http://blog.csdn.net/myan/article/details/649018][http_blog.csdn.net_myan_article_details_649018]

3：理解矩阵(三) [ http://blog.csdn.net/myan/article/details/1865397][http_blog.csdn.net_myan_article_details_1865397]

4：july的[http://blog.csdn.net/v\_july\_v/article/details/40738211][http_blog.csdn.net_v_july_v_article_details_40738211]从拉普拉斯矩阵说到谱聚类

5：机器学习中谱聚类方法的研究：[http://lamda.nju.edu.cn/conf/MLA07/files/YuJ.pdf][http_lamda.nju.edu.cn_conf_MLA07_files_YuJ.pdf]；

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[http_blog.csdn.net_myan_article_details_647511]: http://blog.csdn.net/myan/article/details/647511
[http_blog.csdn.net_myan_article_details_649018]: http://blog.csdn.net/myan/article/details/649018
[http_blog.csdn.net_myan_article_details_1865397]: http://blog.csdn.net/myan/article/details/1865397
[http_blog.csdn.net_v_july_v_article_details_40738211]: http://blog.csdn.net/v_july_v/article/details/40738211
[http_lamda.nju.edu.cn_conf_MLA07_files_YuJ.pdf]: http://lamda.nju.edu.cn/conf/MLA07/files/YuJ.pdf