数据结构之最小生成树

你的名字 2022-07-20 15:25 178阅读 0赞

### prime算法 ###

普里姆(Prim)算法，是用来求加权连通图的最小生成树的算法。

**基本思想**  
对于图G而言，V是所有顶点的集合；现在，设置两个新的集合U和T，其中U用于存放G的最小生成树中的顶点，T存放G的最小生成树中的边。 从所有uЄU，vЄ(V-U) (V-U表示出去U的所有顶点)的边中选取权值最小的边(u, v)，将顶点v加入集合U中，将边(u, v)加入集合T中，如此不断重复，直到U=V为止，最小生成树构造完毕，这时集合T中包含了最小生成树中的所有边。

**邻接矩阵实现**

基本定义

class MatrixUDG {
        #define MAX    100
        #define INF    (~(0x1<<31))        // 无穷大(即0X7FFFFFFF)
        private:
            char mVexs[MAX];    // 顶点集合
            int mVexNum;             // 顶点数
            int mEdgNum;             // 边数
            int mMatrix[MAX][MAX];   // 邻接矩阵
    
        public:
            // 创建图(自己输入数据)
            MatrixUDG();
            // 创建图(用已提供的矩阵)
            //MatrixUDG(char vexs[], int vlen, char edges[][2], int elen);
            MatrixUDG(char vexs[], int vlen, int matrix[][9]);
            ~MatrixUDG();
    
            // 深度优先搜索遍历图
            void DFS();
            // 广度优先搜索（类似于树的层次遍历）
            void BFS();
            // prim最小生成树(从start开始生成最小生成树)
            void prim(int start);
            // 打印矩阵队列图
            void print();
    
        private:
            // 读取一个输入字符
            char readChar();
            // 返回ch在mMatrix矩阵中的位置
            int getPosition(char ch);
            // 返回顶点v的第一个邻接顶点的索引，失败则返回-1
            int firstVertex(int v);
            // 返回顶点v相对于w的下一个邻接顶点的索引，失败则返回-1
            int nextVertex(int v, int w);
            // 深度优先搜索遍历图的递归实现
            void DFS(int i, int *visited);
    
    };

MatrixUDG是邻接矩阵对应的结构体。  
mVexs用于保存顶点，mVexNum是顶点数，mEdgNum是边数；mMatrix则是用于保存矩阵信息的二维数组。例如，mMatrix\[i\]\[j\]=1，则表示”顶点i(即mVexs\[i\])”和”顶点j(即mVexs\[j\])”是邻接点；mMatrix\[i\]\[j\]=0，则表示它们不是邻接点。

**prime算法**

/*
     * prim最小生成树
     *
     * 参数说明：
     *   start -- 从图中的第start个元素开始，生成最小树
     */
    void MatrixUDG::prim(int start)
    {
        int min,i,j,k,m,n,sum;
        int index=0;         // prim最小树的索引，即prims数组的索引
        char prims[MAX];     // prim最小树的结果数组
        int weights[MAX];    // 顶点间边的权值
    
        // prim最小生成树中第一个数是"图中第start个顶点"，因为是从start开始的。
        prims[index++] = mVexs[start];
    
        // 初始化"顶点的权值数组"，
        // 将每个顶点的权值初始化为"第start个顶点"到"该顶点"的权值。
        for (i = 0; i < mVexNum; i++ )
            weights[i] = mMatrix[start][i];
        // 将第start个顶点的权值初始化为0。
        // 可以理解为"第start个顶点到它自身的距离为0"。
        weights[start] = 0;
    
        for (i = 0; i < mVexNum; i++)
        {
            // 由于从start开始的，因此不需要再对第start个顶点进行处理。
            if(start == i)
                continue;
    
            j = 0;
            k = 0;
            min = INF;
            // 在未被加入到最小生成树的顶点中，找出权值最小的顶点。
            while (j < mVexNum)
            {
                // 若weights[j]=0，意味着"第j个节点已经被排序过"(或者说已经加入了最小生成树中)。
                if (weights[j] != 0 && weights[j] < min)
                {
                    min = weights[j];
                    k = j;
                }
                j++;
            }
    
            // 经过上面的处理后，在未被加入到最小生成树的顶点中，权值最小的顶点是第k个顶点。
            // 将第k个顶点加入到最小生成树的结果数组中
            prims[index++] = mVexs[k];
            // 将"第k个顶点的权值"标记为0，意味着第k个顶点已经排序过了(或者说已经加入了最小树结果中)。
            weights[k] = 0;
            // 当第k个顶点被加入到最小生成树的结果数组中之后，更新其它顶点的权值。
            for (j = 0 ; j < mVexNum; j++)
            {
                // 当第j个节点没有被处理，并且需要更新时才被更新。
                if (weights[j] != 0 && mMatrix[k][j] < weights[j])
                    weights[j] = mMatrix[k][j];
            }
        }
    
        // 计算最小生成树的权值
        sum = 0;
        for (i = 1; i < index; i++)
        {
            min = INF;
            // 获取prims[i]在mMatrix中的位置
            n = getPosition(prims[i]);
            // 在vexs[0...i]中，找出到j的权值最小的顶点。
            for (j = 0; j < i; j++)
            {
                m = getPosition(prims[j]);
                if (mMatrix[m][n]<min)
                    min = mMatrix[m][n];
            }
            sum += min;
        }
        // 打印最小生成树
        cout << "PRIM(" << mVexs[start] << ")=" << sum << ": ";
        for (i = 0; i < index; i++)
            cout << prims[i] << " ";
        cout << endl;
    }

### kruskal算法 ###

克鲁斯卡尔(Kruskal)算法，是用来求加权连通图的最小生成树的算法。

基本思想：按照权值从小到大的顺序选择n-1条边，并保证这n-1条边不构成回路。  
具体做法：首先构造一个只含n个顶点的森林，然后依权值从小到大从连通网中选择边加入到森林中，并使森林中不产生回路，直至森林变成一棵树为止。

**克鲁斯卡尔算法分析**

根据前面介绍的克鲁斯卡尔算法的基本思想和做法，我们能够了解到，克鲁斯卡尔算法重点需要解决的以下两个问题：  
问题一 对图的所有边按照权值大小进行排序。  
问题二 将边添加到最小生成树中时，怎么样判断是否形成了回路。

问题一很好解决，采用排序算法进行排序即可。

问题二，处理方式是：记录顶点在”最小生成树”中的终点，顶点的终点是”在最小生成树中与它连通的最大顶点”(关于这一点，后面会通过图片给出说明) 。然后每次需要将一条边添加到最小生存树时，判断该边的两个顶点的终点是否重合，重合的话则会构成回路。 以下图来进行说明：  
![04.jpg_raw_true][]

在将

// 边的结构体
    class EData
    {
        public:
            char start; // 边的起点
            char end;   // 边的终点
            int weight; // 边的权重
    
        public:
            EData(){}
            EData(char s, char e, int w):start(s),end(e),weight(w){}
    };

EData是邻接矩阵边对应的结构体。

class MatrixUDG {
        #define MAX    100
        #define INF    (~(0x1<<31))        // 无穷大(即0X7FFFFFFF)
        private:
            char mVexs[MAX];    // 顶点集合
            int mVexNum;             // 顶点数
            int mEdgNum;             // 边数
            int mMatrix[MAX][MAX];   // 邻接矩阵
    
        public:
            // 创建图(自己输入数据)
            MatrixUDG();
            // 创建图(用已提供的矩阵)
            //MatrixUDG(char vexs[], int vlen, char edges[][2], int elen);
            MatrixUDG(char vexs[], int vlen, int matrix[][9]);
            ~MatrixUDG();
    
            // 深度优先搜索遍历图
            void DFS();
            // 广度优先搜索（类似于树的层次遍历）
            void BFS();
            // prim最小生成树(从start开始生成最小生成树)
            void prim(int start);
            // 克鲁斯卡尔（Kruskal)最小生成树
            void kruskal();
            // 打印矩阵队列图
            void print();
    
        private:
            // 读取一个输入字符
            char readChar();
            // 返回ch在mMatrix矩阵中的位置
            int getPosition(char ch);
            // 返回顶点v的第一个邻接顶点的索引，失败则返回-1
            int firstVertex(int v);
            // 返回顶点v相对于w的下一个邻接顶点的索引，失败则返回-1
            int nextVertex(int v, int w);
            // 深度优先搜索遍历图的递归实现
            void DFS(int i, int *visited);
            // 获取图中的边
            EData* getEdges();
            // 对边按照权值大小进行排序(由小到大)
            void sortEdges(EData* edges, int elen);
            // 获取i的终点
            int getEnd(int vends[], int i);
    };

/*
     * 克鲁斯卡尔（Kruskal)最小生成树
     */
    void MatrixUDG::kruskal()
    {
        int i,m,n,p1,p2;
        int length;
        int index = 0;          // rets数组的索引
        int vends[MAX]={0};     // 用于保存"已有最小生成树"中每个顶点在该最小树中的终点。
        EData rets[MAX];        // 结果数组，保存kruskal最小生成树的边
        EData *edges;           // 图对应的所有边
    
        // 获取"图中所有的边"
        edges = getEdges();
        // 将边按照"权"的大小进行排序(从小到大)
        sortEdges(edges, mEdgNum);
    
        for (i=0; i<mEdgNum; i++)
        {
            p1 = getPosition(edges[i].start);      // 获取第i条边的"起点"的序号
            p2 = getPosition(edges[i].end);        // 获取第i条边的"终点"的序号
    
            m = getEnd(vends, p1);                 // 获取p1在"已有的最小生成树"中的终点
            n = getEnd(vends, p2);                 // 获取p2在"已有的最小生成树"中的终点
            // 如果m!=n，意味着"边i"与"已经添加到最小生成树中的顶点"没有形成环路
            if (m != n)
            {
                vends[m] = n;                       // 设置m在"已有的最小生成树"中的终点为n
                rets[index++] = edges[i];           // 保存结果
            }
        }
        delete[] edges;
    
        // 统计并打印"kruskal最小生成树"的信息
        length = 0;
        for (i = 0; i < index; i++)
            length += rets[i].weight;
        cout << "Kruskal=" << length << ": ";
        for (i = 0; i < index; i++)
            cout << "(" << rets[i].start << "," << rets[i].end << ") ";
        cout << endl;
    }

**References**  
[Prim算法(二)之 C++详解 - 如果天空不死 - 博客园][Prim_ C_ - _ -]

[Kruskal算法(二)之 C++详解 - 如果天空不死 - 博客园][Kruskal_ C_ - _ -]

[04.jpg_raw_true]: https://github.com/wangkuiwu/datastructs_and_algorithm/blob/master/pictures/graph/kruskal/04.jpg?raw=true
[Prim_ C_ - _ -]: http://www.cnblogs.com/skywang12345/p/3711507.html
[Kruskal_ C_ - _ -]: http://www.cnblogs.com/skywang12345/p/3711500.html