牛顿迭代法(Newton's Method)

╰+哭是因爲堅強的太久メ 2022-07-17 04:23 376阅读 0赞

牛顿法的作用是使用迭代的方法来求解函数方程的根。简单地说，牛顿法就是不断求取切线的过程。

对于形如f(x)=0的方程，首先任意估算一个解x0，再把该估计值代入原方程中。由于一般不会正好选择到正确的解，所以有f(x)=a。这时计算函数在x0处的斜率，和这条斜率与x轴的交点x1。  
  
f(x)=0中精确解的意义是，当取得解的时候，函数值为零（即f(x)的精确解是函数的零点）。因此，x1比x0更加接近精确的解。只要不断以此方法更新x，就可以取得无限接近的精确的解。  
  
但是，有可能会遇到牛顿迭代法无法收敛的情况。比如函数有多个零点，或者函数不连续的时候。

**牛顿法举例**

下面介绍使用牛顿迭代法求方根的例子。牛顿迭代法是已知的实现求方根最快的方法之一,只需要迭代几次后就能得到相当精确的结果。  
  
首先设x的m次方根为a。

![20140113020213546][]

下面程序使用牛顿法求解平方根。

<pre name="code" class="java">package com.apple.other;
    /**
     * 开方，牛顿迭代法
     */
    public class Sqrt {
    
        private static double E = 0.0000001d;
        
        /**
         * 开平方
         * @param x
         * @return
         */
        public static double sqrt(int x){
            double result = x;
            while(Math.abs(result * result - x) > E){
                result = (result + x/result) / 2;
            } 
    
            return result;
        }
    
        /**
         * 开n次方
         * @param x
         * @param n
         * @return
         */
        public static double sqrtN(int x, int n){
            double result = x;
            while(Math.abs(Math.pow(result, n) - x) > E){
                result = ((n - 1) * result + x/Math.pow(result, n - 1) ) / n;
            } 
    
            return result;
        }
    
        public static void main(String[] args) {
            System.out.println(Sqrt.sqrt(8));
            System.out.println(Sqrt.sqrtN(27, 3));
        }
    
    }

**更快的方法**

文献2提到了比上述程序更快的求解平方根的非典型牛顿迭代法。介绍如下。  
  
1999年12月，美国id Software公司发布了名为“雷神之锤III”的电子游戏。它是第一个支持软件加速的游戏，取得了极大成功。（由于影响力过大，文化部于2004年将它列入了非法游戏名单）

雷神之锤III并不是id Software公司的第一次成功。早在1993年开始，这家公司就以“毁灭战士”系列游戏名闻天下。1995年，“毁灭战士”的安装数超过了当年微软的windows 95。据传比尔盖茨才曾经考虑买下id software。（id software公司后来被推出过“上古卷轴”系列的Bethesda公司买下）  
  
id Software所取得的成功很大程度上要归功于它的创始人约翰·卡马克。马克尔也是一个著名的程序员，他是id Software游戏引擎的主要负责人。 回到刚才提到的雷神之锤，马克尔是开源软件的积极推动者，他于2005年公布了雷神之锤III的源代码。至此人们得以通过研究这款游戏引擎的源文件来查看它成功的秘密。  
  
在其中一个名字为q\_math.c的文件中发现了如下代码段。

**\[cpp\]** [view plain][] [copy][view plain]

[![在CODE上查看代码片][CODE]][CODE_CODE] [![派生到我的代码片][ico_fork.svg]][ico_fork.svg 1]

1.  **float** Q\_rsqrt( **float** number ) \{ 
2.  **long** i; **float** x2, y; **const****float** threehalfs = 1.5F; 
3.   x2 = number \* 0.5F; 
4.   y = number; 
5.   i = \* ( **long** \* ) &y; // evil floating point bit level hacking 
6.   i = 0x5f3759df - ( i >> 1 ); // what the fuck? 
7.   y = \* ( **float** \* ) &i; 
8.   y = y \* ( threehalfs - ( x2 \* y \* y ) ); // 1st iteration 
9.  // y = y \* ( threehalfs - ( x2 \* y \* y ) ); // 2nd iteration, this can be removed
10.  \#ifndef Q3\_VM \#
11.  ifdef \_\_linux\_\_ assert( !isnan(y) ); // bk010122 - FPE?
12.  \#endif
13.  \#endif return y; 
14. \}

这段代码的作用就是求number的平方根，并且返回它的倒数。  
  
经过测试，它的效率比上述牛顿法程序要快几十倍。也比c++标准库的sqrt()函数要快好几倍。此段代码有一个奇怪的句子：  
  
i = 0x5f3759df - ( i >> 1 ); // what the fuck?   
  
这句话的注释是“what the fuck?”，翻译过来就是“我靠？”  
  
任何受过程序训练的人看到这句大概都会在想，这句话到底在搞什么鸟？  
  
之所以会出现这种奇怪的注释，要么是此段程序的作者（可能是马克尔）根本不知道该如何解释清楚，或者是维护这段程序的程序员完全看不懂这句话，所以有点儿抓毛。而实际上，它的作用（再加上y = y \* ( threehalfs - ( x2 \* y \* y ) )这句牛顿迭代）就是求平方根。  
  
至于是为什么，本博主也不知道。  
  
以雷神之锤III程序为蓝本可以写出比sqrt()更强大的求平方根函数：

**\[cpp\]** [view plain][] [copy][view plain]

[![在CODE上查看代码片][CODE]][CODE_CODE] [![派生到我的代码片][ico_fork.svg]][ico_fork.svg 1]

1.  **int** sqrt(**float** x) \{ 
2.  **if**(x == 0) **return** 0; 
3.  **float** result = x; 
4.  **float** xhalf = 0.5f\*result; 
5.  **int** i = \*(**int**\*)&result; 
6.   i = 0x5f375a86- (i>>1); // what the fuck? 
7.   result = \*(**float**\*)&i; 
8.   result = result\*(1.5f-xhalf\*result\*result); // Newton step, repeating increases accuracy 
9.   result = result\*(1.5f-xhalf\*result\*result); 
10. **return** 1.0f/result; 
11. \}

**参考文献:**  
1.wikipedia.org  
2.http://www.2cto.com/kf/201206/137256.html

[20140113020213546]: /images/20220717/ad4d7f8628df4893a5ad8c0c12e5a45d.png
[view plain]: http://blog.csdn.net/wangxiaojun911/article/details/18203333#
[CODE]: https://code.csdn.net/assets/CODE_ico.png
[CODE_CODE]: https://code.csdn.net/snippets/153804
[ico_fork.svg]: https://code.csdn.net/assets/ico_fork.svg
[ico_fork.svg 1]: https://code.csdn.net/snippets/153804/fork