点在直线的投影坐标 n维向量投影坐标几何投影坐标

柔情只为你懂 2022-07-13 07:44 273阅读 0赞

# 点在直线的投影坐标  n维向量投影坐标 几何投影坐标 #

【[转载请注明出处][Link 1]】http://blog.csdn.net/guyuealian/article/details/53954005

一、**点在直线的投影坐标**

**如下图所示，****直线*l1*：*****y=kx+b******，*直线外有一点*P*(*x**0**, y**0*)，问：点P在直线上的投影坐标为多少呢？**

![Center][]

求点P的投影坐标，即是求过点*P*(*x**0**, y**0*)的直线*l2*垂直于直线*l1*的交点M。由于两条直线相互垂直，则有：***k1k2=-1***，设过P点的直线*l*2为：***y-y0*=-*k\-1*(*x-x0*),**两条直线的交点为***M*(*x1, y1*)，**那么点P在直线*l1*的投影为：

![Center 1][]

以下是Matlab求点P在直线**y=kx+b**的投影坐标：

clc;clear all;
    p=[4 4];         %点p
    k=2;             %直线斜率
    b=1;
    X=[0:0.1:10]; Y=k*X+b;   %y=kx+b的直线
    %% 计算投影点M(x1,y1)
    x1=(k*(p(2)-b)+p(1))/(k*k+1);
    y1=k*x1+b;
    M=[x1 y1]               %点P往直线y=kx+b投影后的坐标
    %% 绘图
    figure();
    hold on;axis equal     %等比例显示
    axis([0 10 0 10])
    plot(X,Y,'g');         %绘制y=kx+b的直线
    plot(p(1),p(2),'*k');
    plot(M(1),M(2),'xr');
    title('点往直线投影');
    xlabel('X')
    ylabel('Y')
    grid on

![Center 2][]  
二、 **点在某方向上的投影坐标**

如下图所示，设有两条向量 *w1* =\[1 2\] ， *w2* =\[3 4\]，问*w2*在*w1*的投影坐标为多少？

![Center 3][]

这种问题，有两种解法：

**（1）几何投影法：**是将问题 转为 “**点在直线的投影坐标**”，*w1*的直线斜率为*k=2，*所以*w1*直线可表示为*y=kx，*向量*w2*即为点*P=(3,4)，*即用下列公式，直接求解即可：

![Center 4][]

解得投影点M=(2.2, 4.4)

这种方法，简单也易于理解，不过也繁琐，下面用线性代数几何应用的方法

**（2）向量投影法：**将问题转为“**向量*w2*在向量*w1*方向的投影**”（这是我做Fisher线性判别，样本投影到直线时，总结出来的，应该没错吧）：

![Center 5][]

思路：用***u***表示*w1*方向的单位向量(即上图中的**绿色剪头***u***，**也是*w1*归一化后的单位向量)，向量w2在向量w1方向的投影坐标,即为向量OM，由几何知识得：

![Center 6][]

上式中，***u***是向量***w1***的**单位向量，即**：

![Center 7][]

利用上式，可以得到向量w2在向量w1方向的投影坐标，即点P=(3,4)在直线w1的投影坐标为：

![Center 8][]

对于Matlab强大的矩阵运算来说，这种运算再适合不过了！！！！！！

**（3）推广到*d*维投影的情况**：设有*n×d*的坐标矩阵A（矩阵A中，共有n行，每行为一个向量，每个向量是d维），坐标矩阵*A*往某一方向*w*投影时，其投影坐标矩阵*M*为：

![Center 9][]

例如：坐标矩阵A=\[ 1 4;2 7;4 5;4 2;3 2;5 6\]，这是6×2的坐标矩阵，其投影坐标如图所示：

![Center 10][]

clc;clear all;
    %p=[2 6];                             %矩阵点p
    A=[ 1 4;2 7;4 5;4 2;3 2;5 6];
    k=2;                                  %直线斜率
    X=[0:0.1:10];
    Y=k*X;                                %y=kx的直线
    wk=[1 k];                             %投影的直线方向
    wk=wk/sqrt(sum(wk.^2));               %归一化，变为模为1的单位矢量wk
    wd= A*wk'*wk;
    figure
    hold on;
    axis equal %等比例显示
    axis([0 10 0 10])
    plot(A(:,1),A(:,2),'*b');
    plot(X,Y,'k');
    plot(wd(:,1),wd(:,2),'xr');
    xlabel('X1')
    ylabel('X2')
    grid on

**（4）特别说明** ：

向量投影法只适用于“过原点”的直线投影情况，即点往直线为***y=kx***投影，对于不过原点的直线***y=kx+b***,最好还是用几何投影的方法吧，只不过多维的情况，几何方法就问题大了。

这种**向量投影法，**是鄙人在做模式识别----计算Fisher线性判别时，经常需要将大量的样本点投影到某个方向上，而采用传统的几何投影方法，特别对于多维的情况，过程十分繁杂。后面推论出向量投影方法，问题就好解决了，该方法对于Matlab 强大的 矩阵运算来说，是非常好的，希望对大家有用，娃哈哈~！

[Link 1]: http://blog.csdn.net/guyuealian/article/details/53954005
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