字符串匹配算法

╰+攻爆jí腚メ 2022-06-16 09:27 209阅读 0赞

记录两个字符串匹配算法：KMP和BM算法。

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http://www.ruanyifeng.com/blog/2013/05/boyer-moore\_string\_search\_algorithm.html

第一个：KMP算法。

[字符串匹配][Link 1]是计算机的基本任务之一。

举例来说，有一个字符串"BBC ABCDAB ABCDABCDABDE"，我想知道，里面是否包含另一个字符串"ABCDABD"？

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许多算法可以完成这个任务，[Knuth-Morris-Pratt算法][Knuth-Morris-Pratt]（简称KMP）是最常用的之一。它以三个发明者命名，起头的那个K就是著名科学家Donald Knuth。

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这种算法不太容易理解，网上有很多[解释][Link 2]，但读起来都很费劲。直到读到[Jake Boxer][]的文章，我才真正理解这种算法。下面，我用自己的语言，试图写一篇比较好懂的KMP算法解释。

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首先，字符串"BBC ABCDAB ABCDABCDABDE"的第一个字符与搜索词"ABCDABD"的第一个字符，进行比较。因为B与A不匹配，所以搜索词后移一位。

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因为B与A不匹配，搜索词再往后移。

![bg2013050105.png][]

就这样，直到字符串有一个字符，与搜索词的第一个字符相同为止。

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接着比较字符串和搜索词的下一个字符，还是相同。

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直到字符串有一个字符，与搜索词对应的字符不相同为止。

![bg2013050108.png][]

这时，最自然的反应是，将搜索词整个后移一位，再从头逐个比较。这样做虽然可行，但是效率很差，因为你要把"搜索位置"移到已经比较过的位置，重比一遍。

![bg2013050107.png][]

一个基本事实是，当空格与D不匹配时，你其实知道前面六个字符是"ABCDAB"。KMP算法的想法是，设法利用这个已知信息，不要把"搜索位置"移回已经比较过的位置，继续把它向后移，这样就提高了效率。

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怎么做到这一点呢？可以针对搜索词，算出一张《部分匹配表》（Partial Match Table）。这张表是如何产生的，后面再介绍，这里只要会用就可以了。

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已知空格与D不匹配时，前面六个字符"ABCDAB"是匹配的。查表可知，最后一个匹配字符B对应的"部分匹配值"为2，因此按照下面的公式算出向后移动的位数：

> 　　移动位数 = 已匹配的字符数 - 对应的部分匹配值

因为 6 - 2 等于4，所以将搜索词向后移动4位。

10.

![bg2013050110.png][]

因为空格与Ｃ不匹配，搜索词还要继续往后移。这时，已匹配的字符数为2（"AB"），对应的"部分匹配值"为0。所以，移动位数 = 2 - 0，结果为 2，于是将搜索词向后移2位。

11.

![bg2013050111.png][]

因为空格与A不匹配，继续后移一位。

12.

![bg2013050112.png][]

逐位比较，直到发现C与D不匹配。于是，移动位数 = 6 - 2，继续将搜索词向后移动4位。

13.

![bg2013050113.png][]

逐位比较，直到搜索词的最后一位，发现完全匹配，于是搜索完成。如果还要继续搜索（即找出全部匹配），移动位数 = 7 - 0，再将搜索词向后移动7位，这里就不再重复了。

14.

![bg2013050114.png][]

下面介绍《部分匹配表》是如何产生的。

首先，要了解两个概念："前缀"和"后缀"。 "前缀"指除了最后一个字符以外，一个字符串的全部头部组合；"后缀"指除了第一个字符以外，一个字符串的全部尾部组合。

15.

![bg2013050109.png][]

"部分匹配值"就是"前缀"和"后缀"的最长的共有元素的长度。以"ABCDABD"为例，

> 　　－　"A"的前缀和后缀都为空集，共有元素的长度为0；
> 
> 　　－　"AB"的前缀为\[A\]，后缀为\[B\]，共有元素的长度为0；
> 
> 　　－　"ABC"的前缀为\[A, AB\]，后缀为\[BC, C\]，共有元素的长度0；
> 
> 　　－　"ABCD"的前缀为\[A, AB, ABC\]，后缀为\[BCD, CD, D\]，共有元素的长度为0；
> 
> 　　－　"ABCDA"的前缀为\[A, AB, ABC, ABCD\]，后缀为\[BCDA, CDA, DA, A\]，共有元素为"A"，长度为1；
> 
> 　　－　"ABCDAB"的前缀为\[A, AB, ABC, ABCD, ABCDA\]，后缀为\[BCDAB, CDAB, DAB, AB, B\]，共有元素为"AB"，长度为2；
> 
> 　　－　"ABCDABD"的前缀为\[A, AB, ABC, ABCD, ABCDA, ABCDAB\]，后缀为\[BCDABD, CDABD, DABD, ABD, BD, D\]，共有元素的长度为0。

16.

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"部分匹配"的实质是，有时候，字符串头部和尾部会有重复。比如，"ABCDAB"之中有两个"AB"，那么它的"部分匹配值"就是2（"AB"的长度）。搜索词移动的时候，第一个"AB"向后移动4位（字符串长度-部分匹配值），就可以来到第二个"AB"的位置。

第二个：BM算法。

各种文本编辑器的"查找"功能（Ctrl+F），大多采用[Boyer-Moore算法][Boyer-Moore]。

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Boyer-Moore算法不仅效率高，而且构思巧妙，容易理解。1977年，德克萨斯大学的Robert S. Boyer教授和J Strother Moore教授发明了这种算法。

下面，我根据Moore教授自己的[例子][Link 3]来解释这种算法。

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假定字符串为"HERE IS A SIMPLE EXAMPLE"，搜索词为"EXAMPLE"。

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首先，"字符串"与"搜索词"头部对齐，从尾部开始比较。

这是一个很聪明的想法，因为如果尾部字符不匹配，那么只要一次比较，就可以知道前7个字符（整体上）肯定不是要找的结果。

我们看到，"S"与"E"不匹配。这时，"S"就被称为"坏字符"（bad character），即不匹配的字符。我们还发现，"S"不包含在搜索词"EXAMPLE"之中，这意味着可以把搜索词直接移到"S"的后一位。

![bg2013050304.png][]

依然从尾部开始比较，发现"P"与"E"不匹配，所以"P"是"坏字符"。但是，"P"包含在搜索词"EXAMPLE"之中。所以，将搜索词后移两位，两个"P"对齐。

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我们由此总结出"坏字符规则"：

> 　　后移位数 = 坏字符的位置 - 搜索词中的上一次出现位置

如果"坏字符"不包含在搜索词之中，则上一次出现位置为 -1。

以"P"为例，它作为"坏字符"，出现在搜索词的第6位（从0开始编号），在搜索词中的上一次出现位置为4，所以后移 6 - 4 = 2位。再以前面第二步的"S"为例，它出现在第6位，上一次出现位置是 -1（即未出现），则整个搜索词后移 6 - (-1) = 7位。

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依然从尾部开始比较，"E"与"E"匹配。

![bg2013050307.png][]

比较前面一位，"LE"与"LE"匹配。

![bg2013050308.png][]

比较前面一位，"PLE"与"PLE"匹配。

![bg2013050309.png][]

比较前面一位，"MPLE"与"MPLE"匹配。我们把这种情况称为"好后缀"（good suffix），即所有尾部匹配的字符串。注意，"MPLE"、"PLE"、"LE"、"E"都是好后缀。

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比较前一位，发现"I"与"A"不匹配。所以，"I"是"坏字符"。

10.

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根据"坏字符规则"，此时搜索词应该后移 2 - （-1）= 3 位。问题是，此时有没有更好的移法？

11.

![bg2013050309.png][]

我们知道，此时存在"好后缀"。所以，可以采用"好后缀规则"：

> 　　后移位数 = 好后缀的位置 - 搜索词中的上一次出现位置

举例来说，如果字符串"ABCDAB"的后一个"AB"是"好后缀"。那么它的位置是5（从0开始计算，取最后的"B"的值），在"搜索词中的上一次出现位置"是1（第一个"B"的位置），所以后移 5 - 1 = 4位，前一个"AB"移到后一个"AB"的位置。

再举一个例子，如果字符串"ABCDEF"的"EF"是好后缀，则"EF"的位置是5 ，上一次出现的位置是 -1（即未出现），所以后移 5 - (-1) = 6位，即整个字符串移到"F"的后一位。

这个规则有三个注意点：

> 　　（1）"好后缀"的位置以最后一个字符为准。假定"ABCDEF"的"EF"是好后缀，则它的位置以"F"为准，即5（从0开始计算）。
> 
> 　　（2）如果"好后缀"在搜索词中只出现一次，则它的上一次出现位置为 -1。比如，"EF"在"ABCDEF"之中只出现一次，则它的上一次出现位置为-1（即未出现）。
> 
> 　　（3）如果"好后缀"有多个，则除了最长的那个"好后缀"，其他"好后缀"的上一次出现位置必须在头部。比如，假定"BABCDAB"的"好后缀"是"DAB"、"AB"、"B"，请问这时"好后缀"的上一次出现位置是什么？回答是，此时采用的好后缀是"B"，它的上一次出现位置是头部，即第0位。这个规则也可以这样表达：如果最长的那个"好后缀"只出现一次，则可以把搜索词改写成如下形式进行位置计算"(DA)BABCDAB"，即虚拟加入最前面的"DA"。

回到上文的这个例子。此时，所有的"好后缀"（MPLE、PLE、LE、E）之中，只有"E"在"EXAMPLE"还出现在头部，所以后移 6 - 0 = 6位。

12.

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可以看到，"坏字符规则"只能移3位，"好后缀规则"可以移6位。所以，Boyer-Moore算法的基本思想是，每次后移这两个规则之中的较大值。

更巧妙的是，这两个规则的移动位数，只与搜索词有关，与原字符串无关。因此，可以预先计算生成《坏字符规则表》和《好后缀规则表》。使用时，只要查表比较一下就可以了。

13.

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继续从尾部开始比较，"P"与"E"不匹配，因此"P"是"坏字符"。根据"坏字符规则"，后移 6 - 4 = 2位。

14.

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从尾部开始逐位比较，发现全部匹配，于是搜索结束。如果还要继续查找（即找出全部匹配），则根据"好后缀规则"，后移 6 - 0 = 6位，即头部的"E"移到尾部的"E"的位置。

[Link 1]: http://en.wikipedia.org/wiki/String_searching_algorithm
[bg2013050101.jpg]: http://image.beekka.com/blog/201305/bg2013050101.jpg
[Knuth-Morris-Pratt]: http://en.wikipedia.org/wiki/Knuth%E2%80%93Morris%E2%80%93Pratt_algorithm
[bg2013050102.jpg]: http://image.beekka.com/blog/201305/bg2013050102.jpg
[Link 2]: http://www.google.com/search?q=Knuth-Morris-Pratt+algorithm
[Jake Boxer]: http://jakeboxer.com/blog/2009/12/13/the-knuth-morris-pratt-algorithm-in-my-own-words/
[bg2013050103.png]: http://image.beekka.com/blog/201305/bg2013050103.png
[bg2013050104.png]: http://image.beekka.com/blog/201305/bg2013050104.png
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[bg2013050114.png]: http://image.beekka.com/blog/201305/bg2013050114.png
[Boyer-Moore]: http://en.wikipedia.org/wiki/Boyer%E2%80%93Moore_string_search_algorithm
[bg2013050301.jpg]: http://image.beekka.com/blog/201305/bg2013050301.jpg
[Link 3]: http://www.cs.utexas.edu/~moore/best-ideas/string-searching/fstrpos-example.html
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