RMQ ST算法

浅浅的花香味﹌ 2022-06-14 08:26 202阅读 0赞

### 概述: ###

RMQ（Range Minimum/Maximum Query），即区间最值查询，是指这样一个问题：对于长度为n的数列A，回答若干询问RMQ（A,i,j）(i,j<=n)，返回数列A中下标在i，j之间的最小/大值。这两个问题是在实际应用中经常遇到的问题，下面介绍一下解决这两种问题的比较高效的算法。当然，该问题也可以用线段树（也叫区间树）解决，算法复杂度为：O(N)~O(logN)，这里我们暂不介绍。

### RMQ算法 ###

对于该问题，最容易想到的解决方案是遍历，复杂度是O(n)。但当数据量非常大且查询很频繁时，该算法无法在有效的时间内查询出正解。  
本节介绍了一种比较高效的在线算法（ST算法）解决这个问题。所谓在线算法，是指用户每输入一个查询便马上处理一个查询。该算法一般用较长的时间做预处理，待信息充足以后便可以用较少的时间回答每个查询。ST（Sparse Table）算法是一个非常有名的在线处理RMQ问题的算法，它可以在O(nlogn)时间内进行预处理，然后在O(1)时间内回答每个查询。

### 主要思想 ###

**预处理**  
倍增,f\[i\]\[j\]表示从i出发长度为2^j的数列的最大值.则f\[i\]\[j\]=max(f\[i\]\[j-1\],f\[i+2^(j-1)\]\[j-1\])  
**查询**  
假如我们需要查询的区间为\[i,j\]，那么我们需要找到覆盖这个闭区间(左边界取i，右边界取j)的最小幂（可以重复，比如查询\[5,9\]，我们可以查询\[5,8\]和\[6,9\]）。  
因为这个区间的长度为j - i + 1,所以我们可以取k=log2( j - i + 1)，则有：RMQ(A, i, j)=max\{F\[i , k\], F\[ j - 2 ^ k + 1, k\]\}。

### 代码: ###

void initRMQ()
    {
        rep(i,1,16)
            rep(j,1,N)
                f[j][i] = max(f[j][i-1],f[j+(1<<i-1)][i-1]);
    }
    int RMQ(int m,int l,int r)
    {
        int tmp = log2(r-l+1);
        return max(f[l][tmp],f[r-(1<<tmp)+1][tmp]);
    }