SG定理与SG函数(模板)

妖狐艹你老母 2022-06-11 09:13 197阅读 0赞

必胜点和必败点：

P点：必败点，换而言之，就是谁处于此位置，则在双方操作正确的情况下必败。  
       N点：必胜点，处于此情况下，双方操作均正确的情况下必胜。  
必胜点和必败点的性质：  
        1、所有终结点是 必败点 P 。（我们以此为基本前提进行推理，换句话说，我们以此为假设）  
        2、从任何必胜点N 操作，至少有一种方式可以进入必败点 P。  
        3、无论如何操作，必败点P 都只能进入 必胜点 N。

Sprague-Grundy定理（SG定理）：  
  
      游戏和的SG函数等于各个子游戏SG函数的Nim和。这样就可以将每一个子游戏分而治之，从而简化了问题。而Bouton定理就是Sprague-Grundy定理在Nim游戏中的直接应用，因为单堆的Nim游戏 SG函数满足 SG(x) = x。  
      对于一个Nim游戏的局面(a1,a2,...,an)，它是P-position当且仅当a1^a2^...^an=0，其中^表示位异或(xor)运算  
  
  
SG函数：  
  
        首先定义mex(minimal excludant)运算，这是施加于一个集合的运算，表示最小的不属于这个集合的非负整数。例如mex\{0,1,2,4\}=3、mex\{2,3,5\}=0、mex\{\}=0。  
  
        对于任意状态 x ， 定义 SG(x) = mex(S),其中 S 是 x 后继状态的SG函数值的集合。如 x 有三个后继状态分别为 SG(a),SG(b),SG(c)，那么SG(x) = mex\{SG(a),SG(b),SG(c)\}。 这样 集合S 的终态必然是空集，所以SG函数的终态为 SG(x) = 0,当且仅当 x 为必败点P时。

SG函数求解模板

//f[N]:可改变当前状态的方式，N为方式的种类，f[N]要在getSG之前先预处理
    //SG[]:0~n的SG函数值
    //S[]:为x后继状态的集合
    int f[N],SG[MAXN],S[MAXN];
    void  getSG(int n){
        int i,j;
        memset(SG,0,sizeof(SG));
        //因为SG[0]始终等于0，所以i从1开始
        for(i = 1; i <= n; i++){
            //每一次都要将上一状态 的 后继集合 重置
            memset(S,0,sizeof(S));
            for(j = 0; f[j] <= i && j <= N; j++)
                S[SG[i-f[j]]] = 1;  //将后继状态的SG函数值进行标记
            for(j = 0;; j++) if(!S[j]){   //查询当前后继状态SG值中最小的非零值
                SG[i] = j;
                break;
            }
        }
    }