洛谷P1074 靶形数独

亦凉 2022-05-30 03:42 142阅读 0赞

## 题目描述 ##

小城和小华都是热爱数学的好学生，最近，他们不约而同地迷上了数独游戏，好胜的他

们想用数独来一比高低。但普通的数独对他们来说都过于简单了，于是他们向 Z 博士请教，

Z 博士拿出了他最近发明的“靶形数独”，作为这两个孩子比试的题目。

靶形数独的方格同普通数独一样，在 9 格宽×9 格高的大九宫格中有 9 个 3 格宽×3 格

高的小九宫格（用粗黑色线隔开的）。在这个大九宫格中，有一些数字是已知的，根据这些数字，利用逻辑推理，在其他的空格上填入 1 到 9 的数字。每个数字在每个小九宫格内不能

重复出现，每个数字在每行、每列也不能重复出现。但靶形数独有一点和普通数独不同，即

每一个方格都有一个分值，而且如同一个靶子一样，离中心越近则分值越高。（如图）

![28.png][]

上图具体的分值分布是：最里面一格（黄色区域）为 10 分，黄色区域外面的一圈（红

色区域）每个格子为 9 分，再外面一圈（蓝色区域）每个格子为 8 分，蓝色区域外面一圈（棕

色区域）每个格子为 7 分，最外面一圈（白色区域）每个格子为 6 分，如上图所示。比赛的

要求是：每个人必须完成一个给定的数独（每个给定数独可能有不同的填法），而且要争取

更高的总分数。而这个总分数即每个方格上的分值和完成这个数独时填在相应格上的数字

的乘积的总和

总分数即每个方格上的分值和完成这个数独时填在相应格上的数字

的乘积的总和。如图，在以下的这个已经填完数字的靶形数独游戏中，总分数为 2829。游戏规定，将以总分数的高低决出胜负。

![29.png][]

由于求胜心切，小城找到了善于编程的你，让你帮他求出，对于给定的靶形数独，能

够得到的最高分数。

## 输入输出格式 ##

输入格式：

一共 9 行。每行 9 个整数（每个数都在 0―9 的范围内），表示一个尚未填满的数独方

格，未填的空格用“0”表示。每两个数字之间用一个空格隔开。

输出格式：

输出共 1 行。

输出可以得到的靶形数独的最高分数。如果这个数独无解，则输出整数-1。

## ![70][]    ##

参考题解： [https://www.luogu.org/blog/user52219/solution-p1074][https_www.luogu.org_blog_user52219_solution-p1074]

刚开始还在纠结如何判断每行和每列每个3X3小宫的数字重复怎么办。看完题解原来用一个行的二维数组、列的二维数组、每个3X3小宫代表数字的的二维数组来判重就行了。真是，怎么没想到呐。

然后正确思路是看没填数字的位置上，哪些地方可选择的方案数最少，就先从哪填。

#include<algorithm>
    #include<iostream>
    #include<stdio.h>
    #include<math.h>
    using namespace std;
    
    int sudoku[10][10];
    bool row[10][10];//每行占用的数字状态
    bool column[10][10];//没列占用的数字状态
    bool gong[10][10];//每个9小格的宫锁占用的数字状态
    int ans;
    int t = 81;
    bool flag;//有解为true，无解为false
    int score[10][10] =//数独地图的分数分布
    {
    	0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,
    	0, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6,
    	0, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 6,
    	0, 6, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 7, 6,
    	0, 6, 7, 8, 9, 9, 9, 8, 7, 6,
    	0, 6, 7, 8, 9, 10,9, 8, 7, 6,
    	0, 6, 7, 8, 9, 9, 9, 8, 7, 6,
    	0, 6, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 7, 6,
    	0, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 6,
    	0, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6
    };
    
    int ju[10][10] = //每个3X3小宫代表的数字，该数字是gong[10][10]的一维
    {
    	0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,
    	0, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3,
    	0, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3,
    	0, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3,
    	0, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 6,
    	0, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 6,
    	0, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 6,
    	0, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 9, 9,
    	0, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 9, 9,
    	0, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 9, 9,
    };
    
    void dfs(int left,int now)//left是还剩多少个位置没填,now是当前填了的分数总和
    {
    	if (left == 0) { flag = true; ans = max(ans, now); return; }
    
    	//if (now + left * 90 <= ans) return;//剪枝1。题解中说这也是一个剪枝，但我发现去掉这个，换成下面的剪枝2会更快
    
    
    	//然后正确思路是看没填数字的位置上，哪些地方可选择的方案数最少，就先从哪填。
    	int mx = 0, my = 0, way = 0, mn = 10,bc = 0;
    
    	for (register int i = 1; i <= 9; i++)
    	{
    
    		for (register int j = 1; j <= 9; j++)
    		if (!sudoku[i][j])
    		{
    			way = 9, bc = ju[i][j];//起初一个位置的填充方法有9种
    			for (register int k = 1; k <= 9; k++)
    			if (row[i][k] || column[j][k] || gong[bc][k]) way--;//如果该位置i，j所在行、列、3X3小宫中存在了k这个数，填充方法way就减少1
    			if (way <= mn) mn = way, mx = i, my = j;
    			if (mn == 1) break;//如果mn为1,说明这个位置可选择的方案数是最少的(这应该算一个剪枝吧)剪枝2
    		}
    		if (mn == 1) break;//如果mn为1,说明这个位置可选择的方案数是最少的(这应该算一个剪枝吧)剪枝2
    	}
    
    	int tc = ju[mx][my];//确定了从一个位置填起,并得知该位置所在的3X3小宫的数字
    	for (register int i = 9; i >= 1; i--)
    	if (!row[mx][i] && !column[my][i] && !gong[tc][i])
    	{
    		sudoku[mx][my] = i;
    		row[mx][i] = true;
    		column[my][i] = true;
    		gong[tc][i] = true;
    		dfs(left - 1, now + sudoku[mx][my] * score[mx][my]);
    		sudoku[mx][my] = 0;
    		row[mx][i] = false;
    		column[my][i] = false;
    		gong[tc][i] = false;
    	}
    }
    
    int main()
    {
    	//freopen("1.txt", "r",stdin);
    	for (int i = 1; i <= 9;i++)
    	for (int j = 1; j <= 9;j++)
    	{
    		cin >> sudoku[i][j];
    		if (sudoku[i][j])
    		{
    			ans += sudoku[i][j] * score[i][j];
    			row[i][sudoku[i][j]] = true;
    			column[j][sudoku[i][j]] = true;
    			gong[ju[i][j]][sudoku[i][j]] = true;
    			t--;
    		}
    	}
    	dfs(t, ans);
    	if (flag) cout << ans;
    	else cout << -1;
    
    	return 0;
    }

[28.png]: /images/20220530/797c91f5dc8b4ed2a388563379bf94e0.png
[29.png]: /images/20220530/7decc4d163524ed99f989b50c0e7eb55.png
[70]: /images/20220530/f23d8c97cf2a4534b18d7cb42413de46.png
[https_www.luogu.org_blog_user52219_solution-p1074]: https://www.luogu.org/blog/user52219/solution-p1074