深度学习笔记(三)：激活函数和损失函数

秒速五厘米 2022-05-21 10:48 270阅读 0赞

[深度学习笔记(一)：logistic分类][logistic]   
[深度学习笔记(二)：简单神经网络，后向传播算法及实现][Link 1]   
[深度学习笔记(三)：激活函数和损失函数][Link 2]   
[深度学习笔记：优化方法总结(BGD,SGD,Momentum,AdaGrad,RMSProp,Adam)][BGD_SGD_Momentum_AdaGrad_RMSProp_Adam]   
[深度学习笔记(四)：循环神经网络的概念，结构和代码注释][Link 3]   
[深度学习笔记(五)：LSTM][LSTM]   
[深度学习笔记(六)：Encoder-Decoder模型和Attention模型][Encoder-Decoder_Attention]

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这一部分来探讨下激活函数和损失函数。在之前的logistic和神经网络中，激活函数是sigmoid, 损失函数是平方函数。但是这并不是固定的。事实上，这两部分都有很多其他不错的选项，下面来一一讨论

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# 3. 激活函数和损失函数 #

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## 3.1 激活函数 ##

关于激活函数，首先要搞清楚的问题是，激活函数是什么，有什么用？不用激活函数可不可以？答案是不可以。激活函数的主要作用是提供网络的非线性建模能力。如果没有激活函数，那么该网络仅能够表达线性映射，此时即便有再多的隐藏层，其整个网络跟单层神经网络也是等价的。因此也可以认为，只有加入了激活函数之后，深度神经网络才具备了分层的非线性映射学习能力。 那么激活函数应该具有什么样的性质呢？

可微性： 当优化方法是基于梯度的时候，这个性质是必须的。   
单调性： 当激活函数是单调的时候，单层网络能够保证是凸函数。   
输出值的范围： 当激活函数输出值是 有限 的时候，基于梯度的优化方法会更加 稳定，因为特征的表示受有限权值的影响更显著;当激活函数的输出是 无限 的时候，模型的训练会更加高效，不过在这种情况小，一般需要更小的learning rate

从目前来看，常见的激活函数多是分段线性和具有指数形状的非线性函数

### 3.1.1 sigmoid ###

f(x)=11\+e−x

![这里写图片描述][20160917153242569]  
sigmoid 是使用范围最广的一类激活函数，具有指数函数形状，它在物理意义上最为接近生物神经元。此外，(0, 1) 的输出还可以被表示作概率，或用于输入的归一化，代表性的如Sigmoid交叉熵损失函数。

然而，sigmoid也有其自身的缺陷，最明显的就是饱和性。从上图可以看到，其两侧导数逐渐趋近于0

limx−>∞f′(x)=0

具有这种性质的称为 软饱和激活函数 。具体的，饱和又可分为左饱和与右饱和。与软饱和对应的是 硬饱和 , 即

f′(x)=0，当|x|>c，其中c为常数。

sigmoid 的软饱和性，使得深度神经网络在二三十年里一直难以有效的训练，是阻碍神经网络发展的重要原因。具体来说，由于在后向传递过程中，sigmoid向下传导的梯度包含了一个  f′(x)  因子（sigmoid关于输入的导数），因此一旦输入落入饱和区， f′(x)  就会变得接近于0，导致了向底层传递的梯度也变得非常小。此时，网络参数很难得到有效训练。这种现象被称为梯度消失。一般来说， sigmoid 网络在 5 层之内就会产生梯度消失现象

此外，sigmoid函数的输出均大于0，使得输出不是0均值，这称为偏移现象，这会导致后一层的神经元将得到上一层输出的非0均值的信号作为输入。

### 3.1.2 tanh ###

f(x)=1−e−2x1\+e−2x

![这里写图片描述][20160917150431945]  
tanh也是一种非常常见的激活函数。与sigmoid相比，它的输出均值是0，使得其收敛速度要比sigmoid快，减少迭代次数。然而，从途中可以看出，tanh一样具有软饱和性，从而造成梯度消失。

### 3.1.3 ReLU，P-ReLU, Leaky-ReLU ###

f(x)=\{ x,ifx≥00,ifx<0f(x)=max(0,x)

![这里写图片描述][20160917151806843]  
ReLU的全称是Rectified Linear Units，是一种后来才出现的激活函数。 可以看到，当x<0时，ReLU硬饱和，而当x>0时，则不存在饱和问题。所以，ReLU 能够在x>0时保持梯度不衰减，从而缓解梯度消失问题。这让我们能够直接以监督的方式训练深度神经网络，而无需依赖无监督的逐层预训练。

然而，随着训练的推进，部分输入会落入硬饱和区，导致对应权重无法更新。这种现象被称为“神经元死亡”。与sigmoid类似，ReLU的输出均值也大于0，偏移现象和 神经元死亡会共同影响网络的收敛性。

针对在x<0的硬饱和问题，我们对ReLU做出相应的改进，使得

f(x)=\{ x,ifx≥0αx,ifx<0

![这里写图片描述][20160917154751042]  
这就是Leaky-ReLU, 而P-ReLU认为， α 也可以作为一个参数来学习，原文献建议初始化a为0.25，不采用正则。

### 3.1.4 ELU ###

f(x)=\{ x,ifx≥0α(ex−1),ifx<0

![这里写图片描述][20160917160040231]  
融合了sigmoid和ReLU，左侧具有软饱和性，右侧无饱和性。右侧线性部分使得ELU能够缓解梯度消失，而左侧软饱能够让ELU对输入变化或噪声更鲁棒。ELU的输出均值接近于零，所以收敛速度更快。在 ImageNet上，不加 Batch Normalization 30 层以上的 ReLU 网络会无法收敛，PReLU网络在MSRA的Fan-in （caffe ）初始化下会发散，而 ELU 网络在Fan-in/Fan-out下都能收敛

### 3.1.5 Maxout ###

f(x)=max(wT1x\+b1,wT2x\+b2,⋯,wTn\+bn)

在我看来，这个激活函数有点大一统的感觉，因为maxout网络能够近似任意连续函数，且当w2,b2,…,wn,bn为0时，退化为ReLU。Maxout能够缓解梯度消失，同时又规避了ReLU神经元死亡的缺点，但增加了参数和计算量。

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## 3.2 损失函数 ##

在之前的内容中，我们用的损失函数都是平方差函数，即

C=12(a−y)2

其中y是我们期望的输出，a为神经元的实际输出（ a=σ(Wx\+b) 。也就是说，当神经元的实际输出与我们的期望输出差距越大，代价就越高。想法非常的好，然而在实际应用中，我们知道参数的修正是与 ∂C∂W 和 ∂C∂b 成正比的，而根据

∂C∂W=(a−y)σ′(a)xT∂C∂b=(a−y)σ′(a)

我们发现其中都有 σ′(a) 这一项。因为sigmoid函数的性质，导致σ′(z)在z取大部分值时会造成饱和现象，从而使得参数的更新速度非常慢，甚至会造成离期望值越远，更新越慢的现象。那么怎么克服这个问题呢？我们想到了交叉熵函数。我们知道，熵的计算公式是

H(y)=−∑iyilog(yi)

而在实际操作中，我们并不知道y的分布，只能对y的分布做一个估计，也就是算得的a值, 这样我们就能够得到用a来表示y的交叉熵

H(y,a)=−∑iyilog(ai)

如果有多个样本，则整个样本的平均交叉熵为

H(y,a)=−1n∑n∑iyi,nlog(ai,n)

其中n表示样本编号,i表示类别编。 如果用于logistic分类，则上式可以简化成

H(y,a)=−1n∑nylog(a)\+(1−y)log(1−a)

与平方损失函数相比，交叉熵函数有个非常好的特质，

H′=1n∑(an−yn)=1n∑(σ(zn)−yn)

可以看到其中没有了 σ′ 这一项，这样一来也就不会受到饱和性的影响了。当误差大的时候，权重更新就快，当误差小的时候，权重的更新就慢。这是一个很好的性质。

参考资料：   
\[1\][ReLu(Rectified Linear Units)激活函数][ReLu_Rectified Linear Units]   
\[2\][神经网络之激活函数面面观][Link 4]   
\[3\][深度学习中的激活函数导引][Link 5]   
\[4\][分类问题损失函数的信息论解释][Link 6]   
\[5\][交叉熵代价函数][Link 7]

[logistic]: http://blog.csdn.net/u014595019/article/details/52554582
[Link 1]: http://blog.csdn.net/u014595019/article/details/52557623
[Link 2]: http://blog.csdn.net/u014595019/article/details/52562159
[BGD_SGD_Momentum_AdaGrad_RMSProp_Adam]: http://blog.csdn.net/u014595019/article/details/52989301
[Link 3]: http://blog.csdn.net/u014595019/article/details/52571966
[LSTM]: http://blog.csdn.net/u014595019/article/details/52605693
[Encoder-Decoder_Attention]: http://blog.csdn.net/u014595019/article/details/52826423
[20160917153242569]: /images/20220521/801c60565e994a55b3699b5b5caefb17.png
[20160917150431945]: /images/20220521/fad4d53b9b12425495895983166f2550.png
[20160917151806843]: /images/20220521/6c15b5e5e244483e9ea48b1e642636f4.png
[20160917154751042]: /images/20220521/fc61f910c4754117846e94a7f1709ecb.png
[20160917160040231]: /images/20220521/6bc141aad4f341c58ab0c22c109d3113.png
[ReLu_Rectified Linear Units]: http://www.mamicode.com/info-detail-873243.html
[Link 4]: http://www.36dsj.com/archives/40455
[Link 5]: https://zhuanlan.zhihu.com/p/22142013
[Link 6]: https://zhuanlan.zhihu.com/p/21562401
[Link 7]: http://blog.csdn.net/u012162613/article/details/44239919