拓扑排序

曾经终败给现在 2022-04-22 13:00 12阅读 0赞

原文地址：[http://blog.csdn.net/lisonglisonglisong/article/details/45543451][http_blog.csdn.net_lisonglisonglisong_article_details_45543451]

### 一、什么是拓扑排序 ###

在图论中，**拓扑排序（Topological Sorting）**是一个**有向无环图（DAG, Directed Acyclic Graph）**的所有顶点的线性序列。且该序列必须满足下面两个条件：

1.每个顶点出现且只出现一次。
    2.若存在一条从顶点 A 到顶点 B 的路径，那么在序列中顶点 A 出现在顶点 B 的前面。

**有向无环图（DAG）才有拓扑排序，非DAG图没有拓扑排序一说。**

例如，下面这个图：

![20150507001028284][]  
  
它是一个 DAG 图，那么如何写出它的拓扑排序呢？这里说一种比较常用的方法：

1.从 DAG 图中选择一个 没有前驱（即入度为0）的顶点并输出。
    2.从图中删除该顶点和所有以它为起点的有向边。
    3.重复 1 和 2 直到当前的 DAG 图为空或当前图中不存在无前驱的顶点为止。后一种情况说明有向图中必然存在环。

![20150507001759702][]  
于是，得到拓扑排序后的结果是 \{ 1, 2, 4, 3, 5 \}。

通常，一个有向无环图可以有**一个或多个拓扑**排序序列。

### 二、拓扑排序的应用 ###

拓扑排序通常用来“排序”具有**依赖**关系的任务。

比如，如果用一个DAG图来表示一个工程，其中每个顶点表示工程中的一个任务，用有向边表示在做任务 B 之前必须先完成任务 A。故在这个工程中，任意两个任务要么具有确定的先后关系，要么是没有关系，绝对不存在互相矛盾的关系（即环路）。

### 三、拓扑排序的实现 ###

根据上面讲的方法，我们关键是要**维护一个入度为0的顶点的集合**。

图的存储方式有两种：邻接矩阵和邻接表。这里我们采用**邻接表**来存储图，C++代码如下：

#include<iostream>
    #include <list>
    #include <queue>
    using namespace std;
    
    /************************类声明************************/
    class Graph
    {
        int V;             // 顶点个数
        list<int> *adj;    // 邻接表
        queue<int> q;      // 维护一个入度为0的顶点的集合
        int* indegree;     // 记录每个顶点的入度
    public:
        Graph(int V);                   // 构造函数
        ~Graph();                       // 析构函数
        void addEdge(int v, int w);     // 添加边
        bool topological_sort();        // 拓扑排序
    };
    
    /************************类定义************************/
    Graph::Graph(int V)
    {
        this->V = V;
        adj = new list<int>[V];
    
        indegree = new int[V];  // 入度全部初始化为0
        for(int i=0; i<V; ++i)
            indegree[i] = 0;
    }
    
    Graph::~Graph()
    {
        delete [] adj;
        delete [] indegree;
    }
    
    void Graph::addEdge(int v, int w)
    {
        adj[v].push_back(w); 
        ++indegree[w];
    }
    
    bool Graph::topological_sort()
    {
        for(int i=0; i<V; ++i)
            if(indegree[i] == 0)
                q.push(i);         // 将所有入度为0的顶点入队
    
        int count = 0;             // 计数，记录当前已经输出的顶点数 
        while(!q.empty())
        {
            int v = q.front();      // 从队列中取出一个顶点
            q.pop();
    
            cout << v << " ";      // 输出该顶点
            ++count;
            // 将所有v指向的顶点的入度减1，并将入度减为0的顶点入栈
            list<int>::iterator beg = adj[v].begin();
            for( ; beg!=adj[v].end(); ++beg)
                if(!(--indegree[*beg]))
                    q.push(*beg);   // 若入度为0，则入栈
        }
    
        if(count < V)
            return false;           // 没有输出全部顶点，有向图中有回路
        else
            return true;            // 拓扑排序成功

测试如下DAG图：

![20150507013500102][]

int main()
    {
        Graph g(6);   // 创建图
        g.addEdge(5, 2);
        g.addEdge(5, 0);
        g.addEdge(4, 0);
        g.addEdge(4, 1);
        g.addEdge(2, 3);
        g.addEdge(3, 1);
    
        g.topological_sort();
        return 0;
    }

输出结果是 4, 5, 2, 0, 3, 1。这是该图的拓扑排序序列之一。

每次在**入度为0**的集合中取顶点，并没有特殊的取出规则，随机取出也行，这里使用的queue。

取顶点的顺序不同会得到不同的拓扑排序序列，当然前提是该图存在多个拓扑排序序列。

由于输出每个顶点的同时还要删除以它为起点的边，故上述拓扑排序的时间复杂度为。

[http_blog.csdn.net_lisonglisonglisong_article_details_45543451]: http://blog.csdn.net/lisonglisonglisong/article/details/45543451
[20150507001028284]: /images/20220422/d31122b7dc5d41cc9d30da9fe3301c60.png
[20150507001759702]: /images/20220422/18d5e745993f4dbf933e92859f049526.png
[20150507013500102]: /images/20220422/bd43524e8db54e39b71a02f9e52d0fbc.png