方差、标准差以及协方差

蔚落 2022-04-08 10:56 293阅读 0赞

# 方差、标准差以及协方差 #

今天在看最优化基础的时候，看到一个协方差的使用，但是映像却不是很清晰，特写一篇博文记录协方差。

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说到协方差，那我们还是从方差开始看起。方差、标准差以及协方差都是用来衡量样本数据的变化情况的。不同的是方差和标准差只能衡量一组数据的变化情况，协方差可以衡量两组数据之间的变化情况。那我们先来看方差：

## 方差 ##

方差是样本各数据与均值（数学期望）之差的平方的平均数，反映的是样本与其均值的偏离程度。

## 标准差 ##

方差的开方即为标准差

## 协方差 ##

协方差反映的是两组数据之间的相关性，其公式如下：  
 C o v ( x , y ) = E \[ ( X − E \[ x \] ) ∗ ( Y − E \[ y \] ) \] Cov(x, y) = E\[(X - E\[x\])\*(Y - E\[y\])\] Cov(x,y)=E\[(X−E\[x\])∗(Y−E\[y\])\]

*  E\[x\] 表示样本 x 的数学期望即均值。

协方差表示有两个变量X,Y，每个 x,y 分别与其均值的差相乘所得值的数学期望（平均值）。

因此，方差可以看成是协方差 X,Y 相等的情况。

**协方差变化情况：**

<table> 
 <thead> 
  <tr> 
   <th>X</th> 
   <th>Y</th> 
   <th>Cov(x, y)</th> 
  </tr> 
 </thead> 
 <tbody> 
  <tr> 
   <td>大</td> 
   <td>小</td> 
   <td>负</td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td>小</td> 
   <td>大</td> 
   <td>负</td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td>大</td> 
   <td>大</td> 
   <td>正</td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td>小</td> 
   <td>小</td> 
   <td>正</td> 
  </tr> 
 </tbody> 
</table>

可以看出当 X 和 Y 同时增大或减小时，协方差为正，当 X 和 Y 一个增大，一个减小时，协方差为负。这可以反映变量 X 和 Y 之间的相关性。

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