表达式（四则运算）计算的算法

悠悠 2022-03-27 11:44 181阅读 0赞

表达式（四则运算）计算的算法

# 戏剧前奏——基本知识点 #

通常我们所看到的算术表达式，运算符总是在两个操作数中间(除)，如(A+B)\*C，这样的表达式叫做**中缀表达式**。这种表达式不同的运算符优先级不同，而且通常含有括号，计算机很难理解这种表达式。在编译系统中，要把人易于理解的表达式翻译成能正确求值的机器指令。编译系统中对中缀形式的算术表达式的处理方式是: 先把中缀表达式转换成后缀表达式，再进行计算。

**后缀表达式**就是表达式中的运算符出现在操作数的后面，并且不含括号，如AB+C\*。后缀表达式的特点：

(1).后缀表达式让操作数和中缀表达式的操作数先后次序相同，只是运算符的先后次序改变；

(2).后缀表达式没有括号，运算次序就是其执行次序。

在计算机内部，任何一个表达式都是由操作数、运算符和分界符组成。操作数和运算符是表达式的主要部分，分界符(如用\#表示)标志了一个表达式的结束。我们把操作数、运算符和分界符称为表达式的**单词**。

一个中缀表达式的四则运算规则：

1.先乘除后加减

2.先括号内后括号外

3.同级别时先左后右

下面以A+(B-C/D)\*E为例对过程进行讲解。A+(B-C/D)\*E转换成后缀表达式后为

ABCD/-E\*+

其运算次序为：T1=CD/; T2=BT1-; T3=T2E\*; T4=AT3+。

基于后缀表达式的两个特点，计算过程如下：计算时只要从左到右依次扫描后缀表达式的各个**单词**，当读到的单词为运算符时，就对该运算他会前两个操作数进施以此运算所代表的操作，然后将结果T插入到后缀表达式中再重复上面的操作。

# 享受过程——实现步骤和方法 #

根据以上的讲解，可初步地列出实现的步骤如下：

1.把中缀表达式的字符中提取出一系列表达式单词；

2.把中缀表达式单词系列转换成后缀表达式单词系列；

3.对后缀表达式词系列依次进行计算。

下面依次对各个步骤进行讲解。

## 把中缀表达式的字符中提取出一系列表达式单词 ##

要提取表达式单词，首先要定义一个单词的类。该类要有两个属性：是否为操作数的标记；数据元素；

**代码：**

package cn.eddu.jxau.calculation;
    
    public class DataType {
    	//是否为操作数
    	private boolean isNum;
    	//数据元素
    	private Object data;
    	public DataType() {
    		isNum = false;
    		data = null;
    	}
    	public DataType(boolean isNum, Object data) {
    		this.isNum = isNum;
    		this.data = data;
    	}
    	//get和set方法
    	//......
    }

将算式表达式转换成操作数和运算符，放入队列中

**代码：**

private static void splitExpress(String str, String... regexs) {
 			StringBuilder strBuilder = new StringBuilder();
 			for (int i = 0; i < regexs.length; i++) {
 				if (i == regexs.length - 1) {
 					strBuilder.append("[").append(regexs[i]).append("]");
 				} else {
 					strBuilder.append("[").append(regexs[i]).append("]|");
 				}
 			}
 			Pattern p = Pattern.compile(strBuilder.toString());
 			Matcher m = p.matcher(str);
 			List<String> strList = new ArrayList();
 			int strStart = 0; // 分割单词的首位置
 			String s; // 分割的单词
 			Double d;
 			while (m.find()) {
 				s = str.substring(strStart, m.start()).trim();
 				if (!s.equals(new String())) {
 					d = Double.parseDouble(s);
 					pressQ.push(new DataType(true, d));
 				}
 				strStart = m.end();
 				
 				s = str.substring(m.start(), m.end());
 				pressQ.push(new DataType(false, s));
 			}
 			s = str.substring(strStart, str.length()).trim();
 			if (!s.equals(new String())) {
 				d = Double.parseDouble(s);
 				pressQ.push(new DataType(true, d));
 			}
 	}

## 把中缀表达式单词系列转换成后缀表达式单词系列 ##

中缀表达式转换成后缀表达式的算法步骤：(1).设置一个堆栈S，初始时将栈顶元素设置为\#。(2).顺序读入中缀表达式，当读到的单词为操作数时将其加入到线性表L， 并接着读下一个单词。(3).令x1为当前栈顶运算符的变量，x2为当前扫描读到的运算符的变量，当顺序从中缀表达式中读入的单词为运算符时就赋予x2；然后比较x1与x2的优先级，若优先级x1>x2，将x1从S中出栈，并加入L中，接着比较新的栈顶运算符x1与x2的优先级；若优先级x1<x2，将x2入栈S，接着读下一个单词；若优先级x1=x2且x1为”(”而x2为”)”,将x1出栈，接着读下一个单词；若优先级x1=x2且x1为”\#”而x2为”\#”,算法结束。

**各运算符优先级关系表**

表中x1为\+或\-，x2为\*或/时，优先级x1<x2，满足中缀表达式规则1.先乘除后加减；x1为\+、\-、\*或/，x2为(或/时，优先级x1<x2，满足中缀表达式规则2.先括号内后括号外；当x1的运算符x2的运算符同级别时，优先级x1=x2，满足中缀表达式规则3.同级别时先左后右。出现表中的$表示中缀表达式语法出错。

**中缀表达式转换成后缀的过程**

<table style="font-family:Simsun;border-collapse:collapse;"> 
 <tbody> 
 <tr> 
 <td style="width:106.5pt;border:.5pt solid #000000;"> 步骤 </td> 
 <td style="width:106.5pt;border-style:solid solid solid none;border-right-width:.5pt;border-right-color:#000000;border-top-width:.5pt;border-top-color:#000000;border-bottom-width:.5pt;border-bottom-color:#000000;"> 中序表达式 </td> 
 <td style="width:106.55pt;border-style:solid solid solid none;border-right-width:.5pt;border-right-color:#000000;border-top-width:.5pt;border-top-color:#000000;border-bottom-width:.5pt;border-bottom-color:#000000;"> 堆栈 </td> 
 <td style="width:106.55pt;border-style:solid solid solid none;border-right-width:.5pt;border-right-color:#000000;border-top-width:.5pt;border-top-color:#000000;border-bottom-width:.5pt;border-bottom-color:#000000;"> 输出 </td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td style="width:106.5pt;border-left-width:.5pt;border-style:none solid solid;border-left-color:#000000;border-right-width:.5pt;border-right-color:#000000;border-bottom-width:.5pt;border-bottom-color:#000000;"> 1 </td> 
 <td style="width:106.5pt;border-style:none solid solid none;border-right-width:.5pt;border-right-color:#000000;border-bottom-width:.5pt;border-bottom-color:#000000;"> A+(B-C/D)*E# </td> 
 <td style="width:106.55pt;border-style:none solid solid none;border-right-width:.5pt;border-right-color:#000000;border-bottom-width:.5pt;border-bottom-color:#000000;"> # </td> 
 <td style="width:106.55pt;border-style:none solid solid none;border-right-width:.5pt;border-right-color:#000000;border-bottom-width:.5pt;border-bottom-color:#000000;">&nbsp;</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td style="width:106.5pt;border-left-width:.5pt;border-style:none solid solid;border-left-color:#000000;border-right-width:.5pt;border-right-color:#000000;border-bottom-width:.5pt;border-bottom-color:#000000;"> 2 </td> 
 <td style="width:106.5pt;border-style:none solid solid none;border-right-width:.5pt;border-right-color:#000000;border-bottom-width:.5pt;border-bottom-color:#000000;"> +(B-C/D)*E# </td> 
 <td style="width:106.55pt;border-style:none solid solid none;border-right-width:.5pt;border-right-color:#000000;border-bottom-width:.5pt;border-bottom-color:#000000;"> # </td> 
 <td style="width:106.55pt;border-style:none solid solid none;border-right-width:.5pt;border-right-color:#000000;border-bottom-width:.5pt;border-bottom-color:#000000;"> A </td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td style="width:106.5pt;border-left-width:.5pt;border-style:none solid solid;border-left-color:#000000;border-right-width:.5pt;border-right-color:#000000;border-bottom-width:.5pt;border-bottom-color:#000000;"> 3 </td> 
 <td style="width:106.5pt;border-style:none solid solid none;border-right-width:.5pt;border-right-color:#000000;border-bottom-width:.5pt;border-bottom-color:#000000;"> (B-C/D)*E# </td> 
 <td style="width:106.55pt;border-style:none solid solid none;border-right-width:.5pt;border-right-color:#000000;border-bottom-width:.5pt;border-bottom-color:#000000;"> #+ </td> 
 <td style="width:106.55pt;border-style:none solid solid none;border-right-width:.5pt;border-right-color:#000000;border-bottom-width:.5pt;border-bottom-color:#000000;"> A </td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td style="width:106.5pt;border-left-width:.5pt;border-style:none solid solid;border-left-color:#000000;border-right-width:.5pt;border-right-color:#000000;border-bottom-width:.5pt;border-bottom-color:#000000;"> 4 </td> 
 <td style="width:106.5pt;border-style:none solid solid none;border-right-width:.5pt;border-right-color:#000000;border-bottom-width:.5pt;border-bottom-color:#000000;"> B-C/D)*E# </td> 
 <td style="width:106.55pt;border-style:none solid solid none;border-right-width:.5pt;border-right-color:#000000;border-bottom-width:.5pt;border-bottom-color:#000000;"> #+( </td> 
 <td style="width:106.55pt;border-style:none solid solid none;border-right-width:.5pt;border-right-color:#000000;border-bottom-width:.5pt;border-bottom-color:#000000;"> A </td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td style="width:106.5pt;border-left-width:.5pt;border-style:none solid solid;border-left-color:#000000;border-right-width:.5pt;border-right-color:#000000;border-bottom-width:.5pt;border-bottom-color:#000000;"> 5 </td> 
 <td style="width:106.5pt;border-style:none solid solid none;border-right-width:.5pt;border-right-color:#000000;border-bottom-width:.5pt;border-bottom-color:#000000;"> -C/D)*E# </td> 
 <td style="width:106.55pt;border-style:none solid solid none;border-right-width:.5pt;border-right-color:#000000;border-bottom-width:.5pt;border-bottom-color:#000000;"> #+( </td> 
 <td style="width:106.55pt;border-style:none solid solid none;border-right-width:.5pt;border-right-color:#000000;border-bottom-width:.5pt;border-bottom-color:#000000;"> AB </td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td style="width:106.5pt;border-left-width:.5pt;border-style:none solid solid;border-left-color:#000000;border-right-width:.5pt;border-right-color:#000000;border-bottom-width:.5pt;border-bottom-color:#000000;"> 6 </td> 
 <td style="width:106.5pt;border-style:none solid solid none;border-right-width:.5pt;border-right-color:#000000;border-bottom-width:.5pt;border-bottom-color:#000000;"> C/D)*E# </td> 
 <td style="width:106.55pt;border-style:none solid solid none;border-right-width:.5pt;border-right-color:#000000;border-bottom-width:.5pt;border-bottom-color:#000000;"> #+(- </td> 
 <td style="width:106.55pt;border-style:none solid solid none;border-right-width:.5pt;border-right-color:#000000;border-bottom-width:.5pt;border-bottom-color:#000000;"> AB </td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td style="width:106.5pt;border-left-width:.5pt;border-style:none solid solid;border-left-color:#000000;border-right-width:.5pt;border-right-color:#000000;border-bottom-width:.5pt;border-bottom-color:#000000;"> 7 </td> 
 <td style="width:106.5pt;border-style:none solid solid none;border-right-width:.5pt;border-right-color:#000000;border-bottom-width:.5pt;border-bottom-color:#000000;"> /D)*E# </td> 
 <td style="width:106.55pt;border-style:none solid solid none;border-right-width:.5pt;border-right-color:#000000;border-bottom-width:.5pt;border-bottom-color:#000000;"> #+(- </td> 
 <td style="width:106.55pt;border-style:none solid solid none;border-right-width:.5pt;border-right-color:#000000;border-bottom-width:.5pt;border-bottom-color:#000000;"> ABC </td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td style="width:106.5pt;border-left-width:.5pt;border-style:none solid solid;border-left-color:#000000;border-right-width:.5pt;border-right-color:#000000;border-bottom-width:.5pt;border-bottom-color:#000000;"> 8 </td> 
 <td style="width:106.5pt;border-style:none solid solid none;border-right-width:.5pt;border-right-color:#000000;border-bottom-width:.5pt;border-bottom-color:#000000;"> D)*E# </td> 
 <td style="width:106.55pt;border-style:none solid solid none;border-right-width:.5pt;border-right-color:#000000;border-bottom-width:.5pt;border-bottom-color:#000000;"> #+(-/ </td> 
 <td style="width:106.55pt;border-style:none solid solid none;border-right-width:.5pt;border-right-color:#000000;border-bottom-width:.5pt;border-bottom-color:#000000;"> ABC </td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td style="width:106.5pt;border-left-width:.5pt;border-style:none solid solid;border-left-color:#000000;border-right-width:.5pt;border-right-color:#000000;border-bottom-width:.5pt;border-bottom-color:#000000;"> 9 </td> 
 <td style="width:106.5pt;border-style:none solid solid none;border-right-width:.5pt;border-right-color:#000000;border-bottom-width:.5pt;border-bottom-color:#000000;"> )*E# </td> 
 <td style="width:106.55pt;border-style:none solid solid none;border-right-width:.5pt;border-right-color:#000000;border-bottom-width:.5pt;border-bottom-color:#000000;"> #+(-/ </td> 
 <td style="width:106.55pt;border-style:none solid solid none;border-right-width:.5pt;border-right-color:#000000;border-bottom-width:.5pt;border-bottom-color:#000000;"> ABCD </td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td style="width:106.5pt;border-left-width:.5pt;border-style:none solid solid;border-left-color:#000000;border-right-width:.5pt;border-right-color:#000000;border-bottom-width:.5pt;border-bottom-color:#000000;"> 10 </td> 
 <td style="width:106.5pt;border-style:none solid solid none;border-right-width:.5pt;border-right-color:#000000;border-bottom-width:.5pt;border-bottom-color:#000000;"> *E# </td> 
 <td style="width:106.55pt;border-style:none solid solid none;border-right-width:.5pt;border-right-color:#000000;border-bottom-width:.5pt;border-bottom-color:#000000;"> #+(- </td> 
 <td style="width:106.55pt;border-style:none solid solid none;border-right-width:.5pt;border-right-color:#000000;border-bottom-width:.5pt;border-bottom-color:#000000;"> ABCD/ </td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td style="width:106.5pt;border-left-width:.5pt;border-style:none solid solid;border-left-color:#000000;border-right-width:.5pt;border-right-color:#000000;border-bottom-width:.5pt;border-bottom-color:#000000;"> 11 </td> 
 <td style="width:106.5pt;border-style:none solid solid none;border-right-width:.5pt;border-right-color:#000000;border-bottom-width:.5pt;border-bottom-color:#000000;"> *E# </td> 
 <td style="width:106.55pt;border-style:none solid solid none;border-right-width:.5pt;border-right-color:#000000;border-bottom-width:.5pt;border-bottom-color:#000000;"> #+( </td> 
 <td style="width:106.55pt;border-style:none solid solid none;border-right-width:.5pt;border-right-color:#000000;border-bottom-width:.5pt;border-bottom-color:#000000;"> ABCD- </td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td style="width:106.5pt;border-left-width:.5pt;border-style:none solid solid;border-left-color:#000000;border-right-width:.5pt;border-right-color:#000000;border-bottom-width:.5pt;border-bottom-color:#000000;"> 12 </td> 
 <td style="width:106.5pt;border-style:none solid solid none;border-right-width:.5pt;border-right-color:#000000;border-bottom-width:.5pt;border-bottom-color:#000000;"> *E# </td> 
 <td style="width:106.55pt;border-style:none solid solid none;border-right-width:.5pt;border-right-color:#000000;border-bottom-width:.5pt;border-bottom-color:#000000;"> #+ </td> 
 <td style="width:106.55pt;border-style:none solid solid none;border-right-width:.5pt;border-right-color:#000000;border-bottom-width:.5pt;border-bottom-color:#000000;"> ABCD- </td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td style="width:106.5pt;border-left-width:.5pt;border-style:none solid solid;border-left-color:#000000;border-right-width:.5pt;border-right-color:#000000;border-bottom-width:.5pt;border-bottom-color:#000000;"> 13 </td> 
 <td style="width:106.5pt;border-style:none solid solid none;border-right-width:.5pt;border-right-color:#000000;border-bottom-width:.5pt;border-bottom-color:#000000;"> E# </td> 
 <td style="width:106.55pt;border-style:none solid solid none;border-right-width:.5pt;border-right-color:#000000;border-bottom-width:.5pt;border-bottom-color:#000000;"> #+* </td> 
 <td style="width:106.55pt;border-style:none solid solid none;border-right-width:.5pt;border-right-color:#000000;border-bottom-width:.5pt;border-bottom-color:#000000;"> ABCD- </td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td style="width:106.5pt;border-left-width:.5pt;border-style:none solid solid;border-left-color:#000000;border-right-width:.5pt;border-right-color:#000000;border-bottom-width:.5pt;border-bottom-color:#000000;"> 14 </td> 
 <td style="width:106.5pt;border-style:none solid solid none;border-right-width:.5pt;border-right-color:#000000;border-bottom-width:.5pt;border-bottom-color:#000000;"> # </td> 
 <td style="width:106.55pt;border-style:none solid solid none;border-right-width:.5pt;border-right-color:#000000;border-bottom-width:.5pt;border-bottom-color:#000000;"> #+* </td> 
 <td style="width:106.55pt;border-style:none solid solid none;border-right-width:.5pt;border-right-color:#000000;border-bottom-width:.5pt;border-bottom-color:#000000;"> ABCD-E </td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td style="width:106.5pt;border-left-width:.5pt;border-style:none solid solid;border-left-color:#000000;border-right-width:.5pt;border-right-color:#000000;border-bottom-width:.5pt;border-bottom-color:#000000;"> 15 </td> 
 <td style="width:106.5pt;border-style:none solid solid none;border-right-width:.5pt;border-right-color:#000000;border-bottom-width:.5pt;border-bottom-color:#000000;"> # </td> 
 <td style="width:106.55pt;border-style:none solid solid none;border-right-width:.5pt;border-right-color:#000000;border-bottom-width:.5pt;border-bottom-color:#000000;"> #+ </td> 
 <td style="width:106.55pt;border-style:none solid solid none;border-right-width:.5pt;border-right-color:#000000;border-bottom-width:.5pt;border-bottom-color:#000000;"> ABCD-E* </td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td style="width:106.5pt;border-left-width:.5pt;border-style:none solid solid;border-left-color:#000000;border-right-width:.5pt;border-right-color:#000000;border-bottom-width:.5pt;border-bottom-color:#000000;"> 16 </td> 
 <td style="width:106.5pt;border-style:none solid solid none;border-right-width:.5pt;border-right-color:#000000;border-bottom-width:.5pt;border-bottom-color:#000000;"> # </td> 
 <td style="width:106.55pt;border-style:none solid solid none;border-right-width:.5pt;border-right-color:#000000;border-bottom-width:.5pt;border-bottom-color:#000000;"> # </td> 
 <td style="width:106.55pt;border-style:none solid solid none;border-right-width:.5pt;border-right-color:#000000;border-bottom-width:.5pt;border-bottom-color:#000000;"> ABCD-E*+ </td> 
 </tr> 
 </tbody> 
</table>

**代码：**

/**
 	 * 将队列中的操作数和运算符转换成后缀表达式
 	 * @return
 	 */
 	private static void toPostfix() {
 		sigStack.push("#");
 		pressQ.push(new DataType(false, "#"));
 		String topSign = null;
 		DataType datatype = null;
 		String sign = null;
 		while(!sigStack.isEmpty() && !pressQ.isEmpty()) {
 			topSign = (String)sigStack.peek();
 			datatype = (DataType)pressQ.peek();
 			if(datatype.isNum()) {	//取出的是操作数
 				suffixL.add(datatype);
 				pressQ.pop();
 			} else {				//取出的是运算符
 				sign = (String)datatype.getData();
 				if(sign.matches("[\\+\\-\\*[/()#$]]{1}")) {
 					if(">".equals(signMap.getValue(topSign, sign))) {
 						suffixL.add(new DataType(false, sigStack.pop()));
 					} else if("<".equals(signMap.getValue(topSign, sign))) {
 						sigStack.push(sign);
 						pressQ.pop();
 					} /*else if("=".equals(signMap.getValue(topSign, sign)) && topSign.equals("(") && sign.equals(")")) {
 						sigStack.pop();
 						pressQ.pop();
 					} */else if("=".equals(signMap.getValue(topSign, sign))&& topSign.equals("#")) {
 						break;
 					} else if(sign.equals(")")) {
 						if("=".equals(signMap.getValue(topSign, sign)) && topSign.equals("(")) {
 							sigStack.pop();
 							pressQ.pop();
 						} else {
 							while(">".equals(signMap.getValue(topSign, sign))) {
 								suffixL.add(new DataType(false, sigStack.pop()));
 								topSign = (String)sigStack.peek();
 							}
 						}
 					} else {
 						try {
 							throw new Exception("算术表达式错误！");
 						} catch (Exception e) {
 							e.printStackTrace();
 						}
 					}
 				}
 			}
 		}
 	}

## 对后缀表达式词系列依次进行计算。 ##

计算时只要从左到右依次扫描后缀表达式的各个**单词**，当读到的单词为运算符时，就对该运算他会前两个操作数进施以此运算所代表的操作，然后将结果T插入到后缀表达式中再重复上面的操作。

**代码：**

DataType e = null;
 		double d1, d2, d;
 		d1 = d2 = d =0;
 		int i = 0;
 		while(!suffixL.isEmpty() && i < suffixL.size()) {
 			e = suffixL.get(i);
 			if(!e.isNum()) {
 				String sign = (String)e.getData();
 				d1 = (Double)suffixL.get(i-2).getData();
 				d2 = (Double)suffixL.get(i-1).getData();
 				if("+".equals(sign)) {
 					d = d1+d2;
 				} else if("-".equals(sign)) {
 					d = d1-d2;
 				} else if("*".equals(sign)) {
 					d = d1*d2;
 				} else if("/".equals(sign)) {
 					d = d1/d2;
 				} else {
 					try {
 						throw new Exception("表达式出错！");
 					} catch (Exception e1) {
 						// TODO Auto-generated catch block
 						e1.printStackTrace();
 					}
 				}
 				suffixL.remove(i-2);
 				suffixL.remove(i-2);
 				suffixL.set(i-2, new DataType(true, d));
 				i = i-2;
 			}
 			i++;

# 见证奇迹——实例测试 #

测试代码：

package cn.eddu.jxau.calculation;
    
    public class Test {
    
    	/**
    	 * @param args
    	 */
    	public static void main(String[] args) {
    		System.out.println(Calculation.calculate("(4-4/7)*7"));//"12+(40-6/3)*4"   (6+4)*5
    		System.out.println((4-4/7)*7);
    	}
    	
    }

**结果：**

**24.0  
28**

可以发现通过转换成后缀表达式后的计算比较直接的写计算式不要准确，直接表达式会将一步计算的结果转化成int类型的数后再进行计算。

#  #