反直觉的「生日悖论」问题

迷南。 2022-01-07 13:51 221阅读 0赞

点击蓝色“五分钟学算法”关注我哟

加个“星标”，一起学算法

![640][]

作者 | labuladong

来源 | labuladong

生日悖论是由这样一个问题引出的：**一个屋子里需要有多少人，才能使得存在至少两个人生日是同一天的概率达到 50%**？

给你 5 秒钟随便猜一个数字，再点击下方空白处查看答案！

点击下方空白区域查看答案

▼

答案是 23 个人，也就是说房子里如果有 23 个人，那么就有 50% 的概率会存在两个人生日相同。

![640?wx\_fmt=gif][640_wx_fmt_gif]

这个结论看起来不可思议，所以被称为悖论。按照直觉，要得到 50% 的概率，起码得有 183 个人吧，因为一年有 365 天呀？其实不是的，觉得这个结论不可思议主要有两个思维误区：

**第一个误区是误解「存在」这个词的含义。**

读者可能认为，如果 23 个人中出现相同生日的概率就能达到 50%，是不是意味着：

假设现在屋子里坐着 22 个人，然后我走进去，那么有 50% 的概率我可以找到一个人和我生日相同？

并不是的，你这种想法是以自我为中心，而题目的概率是在描述整体。也就是说「存在」的含义是指 23 人中的任意两个人，涉及排列组合，大概率和你这个个体没啥关系。

如果你非要计算存在和自己生日相同的人的概率是多少，可以这样计算：

1 - P(22 个人都和我的生日不同) = 1 -(364/365)^22 = 0.06

这样计算得到的结果是不是看起来合理多了？生日悖论计算的对象不是某一个人，而是一个整体，其中包含了所有人的排列组合，它们的概率之和当然会大得多。

**第二个误区是认为概率是线性变化的。**

读者可能认为，如果 23 个人中出现相同生日的概率就能达到 50%，是不是意味着 46 个人的概率就能达到 100%？

不是的，就像中奖率 50% 的游戏，你玩两次的中奖率就是 100% 吗？显然不是，你玩两次的中奖率是 75%：

*P*(两次能中奖)=*P*(第一次就中了)\+*P*(第一次没中但第二次中了)=1/2\+1/2∗1/2=75%

那么换到生日悖论也是一个道理，概率不是简单叠加，而要考虑一个连续的过程。所以 23 个人能达到 50% 的概率并没有什么不合常理之处。

那为什么只要 23 个人出现相同生日的概率就能大于 50% 了呢？我们先计算 23 个人生日都唯一（不重复）的概率。只有 1 个人的时候，生日唯一的概率是 365/365，2 个人时，生日唯一的概率是 365/365×364/365，以此类推，可知 23 人的生日都唯一的概率：

![640?wx\_fmt=png][640_wx_fmt_png]

算出来大约是 0.493，所以存在相同生日的概率就是 0.507，差不多就是 50% 了。

实际上，按照这个算法，当人数达到 70 时，存在两个人生日相同的概率就上升到了 99.9%，基本可以认为是 100% 了。

所以从概率上说，一个几十人的小团体中存在生日相同的人真没啥稀奇的。

如你对这种反直觉的问题还感兴趣的话，可以看看小吴之前的那篇文章：[神奇的三门问题][Link 1]。

## END ##

## ![640?wx\_fmt=png][640_wx_fmt_png 1] ##

**原 创 热 文 推 荐**

☞[毕业十年后，我忍不住出了一份程序员的高考试卷][Link 2]

[☞][Link 3][一道腾讯面试题：厉害了我的杯][Link 4]

[☞][Link 5][十大经典排序算法动画与解析，看我就够了][Link 6]

[☞][Link 5][这或许是东半球分析十大排序算法最好的一篇文章][Link 7]

[☞][Link 5][面试官，我会写二分查找法！对，没有 bug 的那种！][bug]

![640?wx\_fmt=png][640_wx_fmt_png 2] 你点的每个“在看”，我都认真当成了喜欢

[640]: /images/20211220/ca2f88f27faa470b95f5e8804086e2b6.png
[640_wx_fmt_gif]: /images/20211220/37d46d561c244f868e6b4567523a1fdb.png
[640_wx_fmt_png]: /images/20211220/ceccdaa9a79f42a29711a9b4b9518d07.png
[Link 1]: http://mp.weixin.qq.com/s?__biz=MzUyNjQxNjYyMg==&mid=2247484649&idx=1&sn=dd870e55b730935a802986c41282d557&chksm=fa0e6b68cd79e27e4087fe99cd6fe144653f3ffc3026d815365b62a6f765c26454604620a640&scene=21#wechat_redirect
[640_wx_fmt_png 1]: /images/20211220/45afd2a616d148c8a8b97acfa3c41dca.png
[Link 2]: https://blog.csdn.net/dQCFKyQDXYm3F8rB0/article/details/91488249
[Link 3]: http://mp.weixin.qq.com/s?__biz=MzA5MzY4NTQwMA==&mid=2651011536&idx=3&sn=fd5ff61a84fe2180a7c21d15acf71659&chksm=8bad8a27bcda03319570ae23d05392d287390a51ca94014422dd199450b25f43467aaaedb59e&scene=21#wechat_redirect
[Link 4]: http://mp.weixin.qq.com/s?__biz=MzUyNjQxNjYyMg==&mid=2247484557&idx=1&sn=739d80488fe1169a9c9ca26ecfcdfba6&chksm=fa0e6b0ccd79e21a1c2b0d99db69f6206cddddfe2367742e9de1d7d17ec35a5ce29fa4e30d63&scene=21#wechat_redirect
[Link 5]: http://mp.weixin.qq.com/s?__biz=MzA5MjcxNjc2Ng==&mid=2650560116&idx=1&sn=f9e86fa3e7b15624177b29ef1a785be4&chksm=88601dc5bf1794d30fd595d413491da189584b44fd2b2e5e40c665e58760e162616585811647&scene=21#wechat_redirect
[Link 6]: https://blog.csdn.net/dQCFKyQDXYm3F8rB0/article/details/87910210
[Link 7]: https://blog.csdn.net/dQCFKyQDXYm3F8rB0/article/details/92825279
[bug]: http://mp.weixin.qq.com/s?__biz=MzUyNjQxNjYyMg==&mid=2247485240&idx=1&sn=fbccc747b2e8558c6478171709005ff9&chksm=fa0e68b9cd79e1af5ab68d42adea0b24c7d4867069091df9e95b6f20ab57b69c4e38994a36be&scene=21#wechat_redirect
[640_wx_fmt_png 2]: /images/20211220/fa5f430d18d34c23a8b9505a987b0f14.png