质数判断算法

r囧r小猫 2021-12-16 09:59 290阅读 0赞

有人做过这样的验算：1^2+1+41=43,2^2+2+41=47,3^2+3+41=53……于是就可以有这样一个公式：设一正数为n，则n^2+n+41的值一定是一个质数。这个式子一直到n=39时，都是成立的。但n=40时，其式子就不成立了，因为40^2+40+41=1681=41\*41。

研究发现质数除2以外都是奇数，而奇数除了【奇数\*奇数】(或再“\*奇数”）都是质数。那么用计算机先把【奇数\*奇数】(以及再“\*奇数”）（比如9，15，21，25，27，33，35，39……）都求出来，再找奇数中上面没提到的那些数，那些数就是素数。

有近似公式： x 以内质数个数约等于 x / ln(x)，ln是自然对数的意思。准确的质数公式尚未给出。10 以内共 4 个质数。100 以内共 25 个质数。

古老的筛法可快速求出100000000以内的所有素数。筛法，是求不超过自然数N（N＞1）的所有质数的一种方法，据说是古希腊的埃拉托斯特尼（Eratosthenes，约公元前274～194年）发明的，又称埃拉托斯特尼筛子。具体做法是：先把N个自然数按次序排列起来。1不是质数，也不是合数，要划去。第二个数2是质数留下来，而把2后面所有能被2整除的数都划去。2后面第一个没划去的数是3，把3留下，再把3后面所有能被3整除的数都划去。3后面第一个没划去的数是5，把5留下，再把5后面所有能被5整除的数都划去。这样一直做下去，就会把不超过N的全部合数都筛掉，留下的就是不超过N的全部质数。

素数判断法：考虑到这么一个现实，任何一个合数都可以表现为适当个素数的乘积的形式，所以我们只用素数去除要判断的数即可，比如要判断100以内的素数，只用10以内的2，3，5，7就够了，10000以内的数用100以内的素数判断足以。（尚未确定这种lg关系是否严谨）

Rabin-Miller算法：首先我们必须保证n 是个奇数，那么我们就可以把n表示为n=(2^r)\*s+1,注意s 也必须是一个奇数。然后我们就要选择一个随机的整数a(1<=a<=n-1)，接下来我们就是要判断 a^s=1 (mod n) 或a^((2^j)\*s)=-1（mod n）其中（0<=j），如果任意一式成立，我们就说n通过了测试，但是有可能不是素数也能通过测试。所以我们通常要做多次这样的测试，以确保我们得到的是一个素数。（DDS的标准是要经过50次测试）采用Rabin- Miller算法进行验算的方法：  
0、对于需要验证的数n，先计算出m、j，使得n=1+m\*2^j，其中m是正奇数，j是非负整数  
1、随机取一个b，2<=b<n  
2、计算v=b^m mod n  
3、如果v==1，通过测试，返回  
4、令i=1  
5、如果v=n-1，通过测试，返回  
6、如果i==j，非素数，结束  
7、v=v^2 mod n，i=i+1  
8、循环到5

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