线性规划建模-基础

墨蓝 2021-09-24 20:10 478阅读 0赞

### 文章目录 ###

*  1. 题目：Reddy Mikks 公司
 *  2. 分析
 *   *  2.1. 决策变量
     *  2.2. 目标函数
     *  2.3. 约束条件
 *  3. 总结
 *  4. 参考

# 1. 题目：Reddy Mikks 公司 #

Reddy Mikks 公司使用 M1 和 M2 两种原料生产内、外墙涂料，下表提供了问题的基本数据。  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L1B1cnN1ZUx1bw_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center]

一项市场调查指出：内墙涂料的日需求量不超过外墙涂料的日需求量加上1吨。同时，内墙涂料的最大日需求量是2吨。  
Reddy Mikks 公司打算确定最优的（最好的）内、外墙涂料的产品组合，使日总利润达到最大。

# 2. 分析 #

线性规划模型的三个基本部分：  
**决策变量（variable）**、**目标函数（objective）和约束条件（constraint）**。

--------------------

## 2.1. 决策变量 ##

本题中，Reddy Mikks 公司需要确定的是内、外墙涂料的日生产吨数。  
因此内、外墙涂料的日生产吨数作为决策变量。

设：  
 x 1 = 外墙涂料的日生产吨数 x\_1 = \\text\{外墙涂料的日生产吨数\} x1=外墙涂料的日生产吨数

x 2 = 内墙涂料的日生产吨数 x\_2 = \\text\{内墙涂料的日生产吨数\} x2=内墙涂料的日生产吨数

## 2.2. 目标函数 ##

Reddy Mikks 公司的目标是，使两种涂料的日总利润最大，  
 外墙涂料的日总利润 = 5 x 1 . \\text\{外墙涂料的日总利润\} = 5x\_1. 外墙涂料的日总利润=5x1.

内墙涂料的日总利润 = 4 x 2 . \\text\{内墙涂料的日总利润\} = 4x\_2. 内墙涂料的日总利润=4x2.

令  z z z 表示日总利润，则公司的目标可表示为：  
 max ⁡ z = 5 x 1 + 4 x 2 \\max z = 5x\_1 + 4x\_2 maxz=5x1\+4x2

## 2.3. 约束条件 ##

生产两种涂料的原料用料 ≤ 最大原料可用量 \\text\{生产两种涂料的原料用料\} \\leq \\text\{最大原料可用量\} 生产两种涂料的原料用料≤最大原料可用量

原料 M1 的用量是每生产 1 吨外墙涂料用 6 吨，每生产 1 吨内墙涂料用 4 吨，因此  
 生产两种涂料的原料 M1 用量 = 6 x 1 + 4 x 2 \\text\{生产两种涂料的原料 M1 用量\} = 6x\_1 + 4x\_2 生产两种涂料的原料 M1 用量=6x1\+4x2

同理可得

生产两种涂料的原料 M2 用量 = 1 x 1 + 2 x 2 \\text\{生产两种涂料的原料 M2 用量\} = 1x\_1 + 2x\_2 生产两种涂料的原料 M2 用量=1x1\+2x2

因为原料 M1 和 M2 的日用量分别限制在 24 吨和 6 吨，，所以相应的原料约束如下：

6 x 1 + 4 x 2 ≤ 24 （原料 M1） x 1 + 2 x 2 ≤ 6 （原料 M2） 6x\_1 + 4x\_2 \\leq 24 \\text\{（原料 M1）\} \\\\ x\_1 + 2x\_2 \\leq 6 \\text\{（原料 M2）\} 6x1\+4x2≤24（原料 M1）x1\+2x2≤6（原料 M2）

内墙涂料的日需求量不超过外墙涂料的日需求量加上 1 吨，  
 x 2 − x 1 ≤ 1 x\_2 - x\_1 \\leq 1 x2−x1≤1

内墙涂料的最大日需求量限制在 2 吨以内，即  
 x 2 ≤ 2 x\_2 \\leq 2 x2≤2

还有一个隐含的（自然的）限制条件是，变量  x 1 x\_1 x1 和  x 2 x\_2 x2 不能出现负值，  
 x 1 ≥ 0 , x 2 ≥ 0 x\_1 \\geq 0, x\_2 \\geq 0 x1≥0,x2≥0

完整的 Reddy Mikks 模型是：  
 max ⁡ z = 5 x 1 + 4 x 2 s.t. \{ 6 x 1 + 4 x 2 ≤ 24 x 1 + 2 x 2 ≤ 6 − x 1 + x 2 ≤ 1 x 2 ≤ 2 x 1 , x 2 ≥ 0 \\max z = 5x\_1 + 4x\_2 \\\\ \\text\{s.t.\} \\begin\{cases\} 6x\_1 + 4x\_2 & \\leq 24 \\\\ x\_1 + 2x\_2 & \\leq 6 \\\\ -x\_1 + x\_2 & \\leq 1 \\\\ x\_2 & \\leq 2 & \\\\ x\_1, x\_2 & \\geq 0 \\end\{cases\} maxz=5x1\+4x2s.t.⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧6x1\+4x2x1\+2x2−x1\+x2x2x1,x2≤24≤6≤1≤2≥0

满足全部五个约束的  x 1 x\_1 x1 和  x 2 x\_2 x2 的任意值构成一个可行解（feasible solution），否则，其解释不可行的（infeasible）。

# 3. 总结 #

线性规划建模的步骤：

*  找到影响决策的变量；
 *  根据决策变量，确定目标；
 *  根据题目条件，确定约束；
 *  求解线性规划。

# 4. 参考 #

1.  运筹学基础 Hamdy A. Taha

[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L1B1cnN1ZUx1bw_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center]: /images/20210923/8d3c7a40d7a04282b739da1f356c1976.png