【计算机组成原理】补码加减法和溢出检测

男娘i 2021-09-21 04:26 647阅读 0赞

### 文章目录 ###

*   *   *  补码加法
         *  补码减法
         *  溢出概念及其检测方法

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### 补码加法 ###

**补码加法运算基本公式**

定点整数:  \[ x + y \] 补 = \[ x \] 补 + \[ y \] 补 ( 结 果   m o d   2 n + 1 ) \[x+y\]\_补 = \[x\]\_补+\[y\]\_补 \\quad (结果\\ mod\\ 2^\{n+1\}) \[x\+y\]补=\[x\]补\+\[y\]补(结果 mod 2n\+1)

定点小数:  \[ x + y \] 补 = \[ x \] 补 + \[ y \] 补 ( 结 果   m o d   2 ) \[x+y\]\_补 = \[x\]\_补+\[y\]\_补 \\quad (结果\\ mod\\ 2) \[x\+y\]补=\[x\]补\+\[y\]补(结果 mod 2)

例1:  x = + 1001 , y = + 0101 , 求 x + y x= +1001, y=+0101, 求x+y x=\+1001,y=\+0101,求x\+y

∵   \[ x \] 补 = 0   1001 , \[ y \] 补 = 0   0101 \\because \\ \[x\]\_补 = 0\\ 1001,\\quad \[y\]\_补=0\\ 0101 ∵ \[x\]补=0 1001,\[y\]补=0 0101  
![在这里插入图片描述][20200314094917275.png]  
 ∴ x + y = + 1110 \\therefore x+y = +1110 ∴x\+y=\+1110

例2:  x = + 1011 , y = − 0101 , 求 x + y x=+1011, y=-0101, 求x+y x=\+1011,y=−0101,求x\+y

∵ \[ x \] 补 = 0   1011 , \[ y \] 补 = 1   1011 \\because \[x\]\_补=0\\ 1011, \[y\]\_补 = 1\\ 1011 ∵\[x\]补=0 1011,\[y\]补=1 1011  
![在这里插入图片描述][20200314095003935.png]  
结果对 2 n + 1 2^\{n+1\} 2n\+1取模

∴ x + y = + 0110 \\therefore x+y = +0110 ∴x\+y=\+0110

计算机中加法是同过补码进行的, 这是为了在同一个运算器上另一种运算——减法. 两个数的补码相加等于两个分别求补码再相加, 最终结果对 2 n + 1 2^\{n+1\} 2n\+1取模.

### 补码减法 ###

**补码减法基本运算公式**

定点整数:  \[ x − y \] 补 = \[ x \] 补 − \[ y \] 补 = \[ x \] 补 + \[ − y \] 补 \[x-y\]\_补 = \[x\]\_补-\[y\]\_补=\[x\]\_补+\[-y\]\_补 \[x−y\]补=\[x\]补−\[y\]补=\[x\]补\+\[−y\]补

定点小数同上.

运算过程的重点是把 − \[ y \] 补 ⇒ \[ − y \] 补 -\[y\]\_补 \\Rightarrow \[-y\]\_补 −\[y\]补⇒\[−y\]补

转换规则: 符号位和数值位均取反, 最后加1.

为什么符号位取反? 因为这个过程是把一个负数转换成一个正数, 所以符号位需要变.

为什么数值位取反? 取反后加1这个过程是对补码又求了一次补码, 最终数值位变成了**原码**, 又因为符号位取反, 所以这个数从负数变成了正数, 因此在这里又可以得出: 多次求补码, 可以使  原 码 ⇌ 互 转 补 码 原码 \\overset\{互转\}\{\\rightleftharpoons\} 补码 原码⇌互转补码.

例: 一个负数 \[ − 001 \] ⇒ \[ 1001 \] 原 ⇒ \[ 1111 \] 补 ⟹ 再 求 补 码 \[ 10001 \] 补 \[-001\] \\Rightarrow \[1001\]\_原 \\Rightarrow \[1111\]\_补 \\overset\{再求补码\}\{\\Longrightarrow\} \[10001\]\_补 \[−001\]⇒\[1001\]原⇒\[1111\]补⟹再求补码\[10001\]补 , 此时的**补码**变成了**原码**.

### 溢出概念及其检测方法 ###

当所存储的数超过二进制(固定长度)所能表示的值的范围时, 二进制所表示的数值出现错误, 这种现象称为**溢出**. 溢出并非都是坏处, 在将减法转换成加法(由补码完成)就利用了溢出的特性.

溢出分两种正溢出和负溢出, 当两个正数相加超出进制表示范围称为正溢出, 两个负数进行运算超出进制表示范围称为负溢出.

溢出只出现在良正数或负数相加.

溢出检测方法有两种: **变形补码判别法**和**单符号位法**

变形补码采用双符号位表示补码, 任何正数的符号位都是"00", 任何负数的符号位都是"11", 运算后, 如果符号位变成"01"(正溢)或"10"(负溢)表示出现溢出.

在电路中使用异或判断很方便.  
单符号位法判断时采用1bit进位与符号位进行判断, 判断方式通上.

Q&A 请指正!

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